Limite di successione - teorema del confronto
Faccio una domanda un po' banale.
Ho il limite: $lim_n sqrt( n + 2 + sin(1/n) )/n$
Poiché la funzione radice quadrata è crescente e il seno è una funzione limitata, allora:
$ sqrt( n + 1 )/n <= sqrt( n + 2 + sin(1/n) )/n <= sqrt(n + 3)/n $
Quindi, poiché $ lim_n sqrt( n + 1 )/n = lim_n sqrt(n + 3)/n = 0$ , allora $ sqrt( n + 2 + sin(1/n) )/n -> 0$.
E' formalmente corretta, giusto?
Ho il limite: $lim_n sqrt( n + 2 + sin(1/n) )/n$
Poiché la funzione radice quadrata è crescente e il seno è una funzione limitata, allora:
$ sqrt( n + 1 )/n <= sqrt( n + 2 + sin(1/n) )/n <= sqrt(n + 3)/n $
Quindi, poiché $ lim_n sqrt( n + 1 )/n = lim_n sqrt(n + 3)/n = 0$ , allora $ sqrt( n + 2 + sin(1/n) )/n -> 0$.
E' formalmente corretta, giusto?
Risposte
Beh a me pare corretta. D'altronde constatando che la radice non può assumere valori negativi, e che $n >= 0$ ( ovviamente ), potevi minorare direttamente con 0.
Perfetto. Grazie.
Ho un altro limite di successione. $lim_n ( 1 + 1/(n^n))^(n!)$
Usando l'approssimazione di Stirling:
$lim_n ( 1 + 1/(n^n))^(n!) = lim_n ( 1 + 1/(n^n))^(e^(-n) n^n sqrt( 2 pi n )) = lim_n [( 1 + 1/(n^n))^(n^n) ]^(sqrt( 2 pi n )/e^n)$
$( 1 + 1/(n^n))^(n^n) -> e$
$sqrt( 2 pi n )/e^n -> 0$
Quindi il limite vale $1$.
Non avendo mai visto la formula di Stirling, è utile farsi correggere eventuali sviste.
Usando l'approssimazione di Stirling:
$lim_n ( 1 + 1/(n^n))^(n!) = lim_n ( 1 + 1/(n^n))^(e^(-n) n^n sqrt( 2 pi n )) = lim_n [( 1 + 1/(n^n))^(n^n) ]^(sqrt( 2 pi n )/e^n)$
$( 1 + 1/(n^n))^(n^n) -> e$
$sqrt( 2 pi n )/e^n -> 0$
Quindi il limite vale $1$.
Non avendo mai visto la formula di Stirling, è utile farsi correggere eventuali sviste.
Perché scomodare Stirling? Il limite notevole che serve a "definire" il numero di Nepero assume la forma più generale seguente
[tex]$\lim_{n\to+\infty}a_n=\pm\infty\ \Rightarrow\ \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}=e$[/tex]
cosa che puoi dimostrare facilmente proprio usando il Teorema del confronto come hai fatto prima. A questo punto, sapendo che $n!/n^n\to 0$ per $n\to+\infty$ (anche questo facile da verificare) risulta
[tex]$\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n^n}\right)^{n!}=\lim_{n\to+\infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^n}\right)^{n^n}\right]^{n!/n^n}=e^0=1$[/tex]
P.S.: in ogni caso quello che hai scritto è corretto.
[tex]$\lim_{n\to+\infty}a_n=\pm\infty\ \Rightarrow\ \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}=e$[/tex]
cosa che puoi dimostrare facilmente proprio usando il Teorema del confronto come hai fatto prima. A questo punto, sapendo che $n!/n^n\to 0$ per $n\to+\infty$ (anche questo facile da verificare) risulta
[tex]$\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n^n}\right)^{n!}=\lim_{n\to+\infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^n}\right)^{n^n}\right]^{n!/n^n}=e^0=1$[/tex]
P.S.: in ogni caso quello che hai scritto è corretto.
"ciampax":
Perché scomodare Stirling? Il limite notevole che serve a "definire" il numero di Nepero assume la forma più generale seguente
[tex]$\lim_{n\to+\infty}a_n=\pm\infty\ \Rightarrow\ \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}=e$[/tex]
cosa che puoi dimostrare facilmente proprio usando il Teorema del confronto come hai fatto prima. A questo punto, sapendo che $n!/n^n\to 0$ per $n\to+\infty$ (anche questo facile da verificare) risulta
[tex]$\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n^n}\right)^{n!}=\lim_{n\to+\infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^n}\right)^{n^n}\right]^{n!/n^n}=e^0=1$[/tex]
P.S.: in ogni caso quello che hai scritto è corretto.
Grazie mille. Avevo mancato di leggere questa risposta, scusami.
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