Limite di successione, teo. del confronto

[Seneca1]

$lim_n 1/n * root(n)( 1 + 2^2 + 3^3 + ... + n^n )$

Mi sono bloccato tentando di trovare una successione maggiorante:

$1/n * root(n)( 1 + 2^2 + 3^3 + ... + n^n ) <= n^(n+1)$

$1 + 2^2 + 3^3 + ... + n^n <= n^(n(n+2))$

$1 + 2^2 + 3^3 + ... + n^n <= (n^n)^(n+2)$

Ma questa è vera da un certo $bar n$ in poi?

[Alextorm1]

[tex]\forall n \in \mathbb{N}, n^n \leq 1 + 2^2 + \dots + n^n \leq n^n + n^n + \dots + n^n = n \cdot n^n = n^{n+1}[/tex]. Inoltre [tex]\dfrac{1}{n} \sqrt[n]{1+2^2+\dots+n^n} = \sqrt[n]{\dfrac{1+2^2+\dots+n^n}{n^n}}[/tex].
Ma allora per il teo. del confronto:
[tex]1= \lim_n \sqrt[n]{1} = \lim_n \sqrt[n]{\dfrac{n^n}{n^n}} \leq \lim_n \sqrt[n]{\dfrac{1+2^2+\dots+n^n}{n^n}}[/tex][tex]\leq \lim_n \sqrt[n]{\dfrac{n^{n+1}}{n^n}} = \lim_n \sqrt[n]{n} = 1[/tex].
Quindi [tex]\lim_n \dfrac{1}{n} \sqrt[n]{1+2^2+\dots+n^n} =1[/tex].
[tex]\hline[/tex]
Se applico il teo. di Cesaro delle medie ho:
[tex]\lim_n \sqrt[n]{\dfrac{1+2^2+\dots+n^n}{n^n}} = \lim_n \sqrt[n]{\dfrac{n^n}{n^{n-1}}} = \lim_n \sqrt[n]{n} = 1[/tex].

[Seneca1]

"Alextorm":
Se applico il teo. di Cesaro delle medie ho:
[tex]\lim_n \sqrt[n]{\dfrac{1+2^2+\dots+n^n}{n^n}} = \lim_n \sqrt[n]{\dfrac{n^n}{n^{n-1}}} = \lim_n \sqrt[n]{n} = 1[/tex].

Eh, era piuttosto semplice.

[gugo82]

E, tra l'altro, se ne era parlato qui... Vedi che conviene sempre seguire tutto il forum?!?

[Seneca1]

"gugo82":E, tra l'altro, se ne era parlato qui... Vedi che conviene sempre seguire tutto il forum?!?

Ma io sono fedele a questa sezione.