Limite di successione simil-neperiana
Buongiorno, torno dopo qualche tempo sul forum per una richiesta di aiuto con un limite di cui non riesco a trovare una soluzione completa... Il limite in questione è quello della successione \[(a_n)_{n>0}=\left(\left(\frac{(1+\frac{1}{n})^{n+1}}{e}\right)^n\right)_{n>0}\] che (soluzione alla mano) tende a \(\sqrt e\). Evidentemente, si genera una forma indeterminata del tipo \([1^\infty]\) quindi ho pensato di impiegare i log o arrivare addirittura alla ricerca diretta dell'estremo superiore (essendo \((a_n)_n\) crescente) ma senza successo. Neanche la disuguaglianza di Bernoulli è stata utile, perlomeno nelle forme in cui l'ho applicata... Sapreste aiutarmi?
Risposte
Ciao! Il termine generale della tua successione è uguale a
$$\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2+n}}{e^n}=\frac{e^{(n^2+n) \log \left(1+\frac{1}{n}\right)}}{e^n}=e^{(n^2+n) \log \left(1+\frac{1}{n}\right)-n}$$
Ora dovresti concludere abbastanza agevolmente usando lo sviluppo di Taylor del logaritmo, se lo puoi usare.
$$\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2+n}}{e^n}=\frac{e^{(n^2+n) \log \left(1+\frac{1}{n}\right)}}{e^n}=e^{(n^2+n) \log \left(1+\frac{1}{n}\right)-n}$$
Ora dovresti concludere abbastanza agevolmente usando lo sviluppo di Taylor del logaritmo, se lo puoi usare.
Il problema è che non posso applicare Taylor... Cosa si potrebbe fare in tal caso? Ad ogni modo, questo problema equivale a cercare \[\lim_{x\to0} \frac{\log(1+x)-x}{x^2}\] che ancora, senza Taylor o de L'Hopital, è un tipico esercizio "irrisolvibile"... Mi chiedo se comunque esista una qualche strada risolutiva che non sfrutti questi due strumenti per il momento ancora sconosciuti
Ciao Bianco17,
Devo dire che intervieni poco sul forum, ma quando lo fai i tuoi post sono "pesanti"...
Sì esiste, ma non è affatto banale...
Quasi tutti sanno (ed anche su questo stesso forum c'è qualche thread in merito) che si ha:
$(1 + 1/n)^n < e < (1 + 1/n)^{n + 1} \implies e - (1 + 1/n)^ n > 0 $
Si può anche dimostrare (ma è meno banale...) che vale la catena di disuguaglianze seguente:
$ 0 < e/(2n + 2) < e - (1 + 1/n)^n < e/(2n + 1) $
(vedasi anche qui).
Dividendo per $e > 0 $ si ha:
$ 1/(2n + 2) < 1 - (1 + 1/n)^n/e < 1/(2n + 1) $
Moltiplicando per $- 1 < 0 $ si ha:
$ - 1/(2n + 1) < (1 + 1/n)^n/e - 1 < - 1/(2n + 2) $
Sommando $1 $ si ha:
$ 1 - 1/(2n + 1) < (1 + 1/n)^n/e < 1 - 1/(2n + 2) $
Moltiplicando per $ (1 + 1/n) > 0 $ si ha:
$ 1 + 1/n - (1 + 1/n)/(2n + 1) < (1 + 1/n)^(n + 1)/e < 1 + 1/n - (1 + 1/n)/(2n + 2) $
Elevando tutto alla $n > 0 $ si ha:
$(1 + 1/n - (1 + 1/n)/(2n + 1))^n < ((1 + 1/n)^(n + 1)/e)^n < (1 + 1/n - (1 + 1/n)/(2n + 2))^n $
$(1 + 1/(2n + 1))^n < ((1 + 1/n)^(n + 1)/e)^n < (1 + 1/(2n))^n $
$ [(1 + 1/(2n + 1))^(2n + 1)]^(n/(2n + 1)) < ((1 + 1/n)^(n + 1)/e)^n < [(1 + 1/(2n))^(2n)]^(n/(2n)) $
$ [(1 + 1/(2n + 1))^(2n + 1)]^(n/(2n + 1)) < ((1 + 1/n)^(n + 1)/e)^n < [(1 + 1/(2n))^(2n)]^(1/2) $
Pertanto si ha:
$ \lim_{n \to +\infty} [(1 + 1/(2n + 1))^(2n + 1)]^(n/(2n + 1)) < \lim_{n \to +\infty} ((1 + 1/n)^(n + 1)/e)^n < \lim_{n \to +\infty}[(1 + 1/(2n))^(2n)]^(1/2) $
Dunque in definitiva si ha:
$ \lim_{n \to +\infty} a_n = \lim_{n \to +\infty} ((1 + 1/n)^(n + 1)/e)^n = e^{1/2} = sqrt{e} $
Devo dire che intervieni poco sul forum, ma quando lo fai i tuoi post sono "pesanti"...
"Bianco17":
Mi chiedo se comunque esista una qualche strada risolutiva che non sfrutti questi due strumenti per il momento ancora sconosciuti
Sì esiste, ma non è affatto banale...
Quasi tutti sanno (ed anche su questo stesso forum c'è qualche thread in merito) che si ha:
$(1 + 1/n)^n < e < (1 + 1/n)^{n + 1} \implies e - (1 + 1/n)^ n > 0 $
Si può anche dimostrare (ma è meno banale...) che vale la catena di disuguaglianze seguente:
$ 0 < e/(2n + 2) < e - (1 + 1/n)^n < e/(2n + 1) $
(vedasi anche qui).
Dividendo per $e > 0 $ si ha:
$ 1/(2n + 2) < 1 - (1 + 1/n)^n/e < 1/(2n + 1) $
Moltiplicando per $- 1 < 0 $ si ha:
$ - 1/(2n + 1) < (1 + 1/n)^n/e - 1 < - 1/(2n + 2) $
Sommando $1 $ si ha:
$ 1 - 1/(2n + 1) < (1 + 1/n)^n/e < 1 - 1/(2n + 2) $
Moltiplicando per $ (1 + 1/n) > 0 $ si ha:
$ 1 + 1/n - (1 + 1/n)/(2n + 1) < (1 + 1/n)^(n + 1)/e < 1 + 1/n - (1 + 1/n)/(2n + 2) $
Elevando tutto alla $n > 0 $ si ha:
$(1 + 1/n - (1 + 1/n)/(2n + 1))^n < ((1 + 1/n)^(n + 1)/e)^n < (1 + 1/n - (1 + 1/n)/(2n + 2))^n $
$(1 + 1/(2n + 1))^n < ((1 + 1/n)^(n + 1)/e)^n < (1 + 1/(2n))^n $
$ [(1 + 1/(2n + 1))^(2n + 1)]^(n/(2n + 1)) < ((1 + 1/n)^(n + 1)/e)^n < [(1 + 1/(2n))^(2n)]^(n/(2n)) $
$ [(1 + 1/(2n + 1))^(2n + 1)]^(n/(2n + 1)) < ((1 + 1/n)^(n + 1)/e)^n < [(1 + 1/(2n))^(2n)]^(1/2) $
Pertanto si ha:
$ \lim_{n \to +\infty} [(1 + 1/(2n + 1))^(2n + 1)]^(n/(2n + 1)) < \lim_{n \to +\infty} ((1 + 1/n)^(n + 1)/e)^n < \lim_{n \to +\infty}[(1 + 1/(2n))^(2n)]^(1/2) $
Dunque in definitiva si ha:
$ \lim_{n \to +\infty} a_n = \lim_{n \to +\infty} ((1 + 1/n)^(n + 1)/e)^n = e^{1/2} = sqrt{e} $
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