Limite di successione risoluzione

[Akillez]

Ciao a tutti ragazzi,
spero che qualcuno di voi mi aiuti a risolvere il seguente limite di successione che trovato in internet perchè non so come muovermi in fondo alla soluzione:

$lim(n->+oo) n/(2n+5)=1/2 $

$AA epsilon > 0 EE K t.c. n>K =>|n/(2n+5)-1/2|
Svolgimento:
$|n/(2n+5)-1/2|
1) $n/(2n+5)-1/2 2) $n/(2n+5)-1/2> -epsilon$ (può essere che sia vera sempre?)

1) $(2n-2(n+5))/(2(2n+5)) $-5/(2(2n+5))
$(-5-2epsilon(2n+5))/(2(2n+5))<0$
$(-5-4epsilonn-10epsilon)/(2(2n+5))<0$
cambio di segno
$ (5+4epsilonn+10epsilon)/(2(2n+5))>0$

risolvo il numeratore
$4epsilonn+10epsilon+5>0$
$n>(-10epsilon+5)/(4epsilon)$

risolvo il denominatore:
$4n+10>0$
$n>-5/2$

$(10epsilon+5)/(4epsilon)$-------------- $(-5/2)$
...|____________________|_______________
.....................................|______________________________

ma a questo punto come mi muovo?

ciao e grazie in anticipo per l'aiuto

[david_e1]

La (1) e' quella sempre vera!

Infatti:

$ n/(2n+5) < 1/2 $

E' la (2) quella da studiare. Infatti abbiamo:

$ n/(2n+5)-1/2>-epsilon $

Da cui:

$ (-5)/(4n+10) > - epsilon $

E quindi:

$ 5/(4n+10) < epsilon $

Invertendo le frazioni si trova:

$ 4n+10 > 5/epsilon $

Infine si ha:

$ n > 5/(4 epsilon) + 5/2 $

Se non ho sbagliato i conti.

Questo conclude la dimostrazione. Infatti dato l'$epsilon$:

$ k = 5/(4 epsilon) + 5/2 $

[Akillez]

Magnifico! Sono rimasto a bocca aperta.

Spero un gg pure io di fare questi esercizi con questa efficacia

ma perchè è la prima sempre vera?

[david_e1]

"Akillez":Magnifico! Sono rimasto a bocca aperta.

Non esagerare!


La prima e' sempre vera perche':

$n/(2n+5)-1/2 < 0$

E noi vogliamo che $epsilon > 0$.

Una quantita' negativa e' sempre minore di una positiva.........

[Akillez]

"david_e":[quote="Akillez"]Magnifico! Sono rimasto a bocca aperta.

Non esagerare!


La prima e' sempre vera perche':

$n/(2n+5)-1/2 < 0$

E noi vogliamo che $epsilon > 0$.

Una quantita' negativa e' sempre minore di una positiva.........[/quote]


ehheh è tutto il pomeriggio che stavo su questa disequazione vederla risolvere in 3 passaggi mi ha fatto rimanere male heheheh.

ah ok ora ci sono, cmq dicevi: $n/(2n+5)-1/2 < epsilon$

[david_e1]

Si si quella.