Limite di successione-potreste vedere se ho fatto bene?

[killer110]

ciao a tutti ragazzi

ho azzardato una soluzione al seguente limite

secondo voi è giusta?

$\lim_{n \to \infty}(n-sqrt(n))(root(3)(1+2/n)-1)$

applicando $(a-b)(a^2+ab+b^2)=(a^3-b^3)$ e ponendo $1=root(3)1^3$

$\lim_{n \to \infty}(n-sqrt(n))((root(3)(1+2/n) - root(3)(1^3))(root(3)((1+2/n))^2+root(3)(1^3 (1+2/n))+root(3)1^6))/(root(3)((1+2/n))^2+root(3)(1^3 (1+2/n))+root(3)1^6)$

svolgendo i calcoli ottengo

$\lim_{n \to \infty}(2-2root(2)n)/(root(3)((1+2/n))^2+root(3)(1^3 (1+2/n))+root(3)1^6)$

ed essendo il grado del numeratore minore di quello del denominatore $1/2<2/3$ ottengo che il limite è =$0$.

voi che ne pensate?

[Ziben]

Ciao
a me viene diversamente:
$(n-sqrt(n))( root(3)(1+2/n) -1)$ $= (n-sqrt(n)) (1/root(3)(n) root(3)(n+2) -1)$ $=(n-sqrt(n))/(root(3)(n))(root(3)(n+2)-root(3)(n))$
adesso applico la $(a-b)(a^2+ab+b^2)=(a^3-b^3)$ e ottengo:
$=(n-sqrt(n))/(root(3)(n))(root(3)(n+2)-root(3)(n)) (root(3)((n+2)^2)+root(3)(n+2)root(3)(n)+root(3)(n^2))/(root(3)((n+2)^2)+root(3)(n+2)root(3)(n)+root(3)(n^2))$ $=(n-sqrt(n))/(root(3)(n))(n+2-n)/(root(3)((n+2)^2)+root(3)(n+2)root(3)(n)+root(3)(n^2))$
raccolgliendo $root(3)(n^2)$ tra i radicali al denominatore ottengo:
$(n-sqrt(n))/(root(3)(n))*1/(root(3)(n^2))*2/(root(3)((1+2/n)^2)+root(3)(1+2/n)+1)$ $=(n(1+1/sqrt(n)))/n *2/(root(3)((1+2/n)^2)+root(3)(1+2/n)+1)$
che per $n rarr oo$ tende a $2/3$

[Seneca1]

"killer110":$\lim_{n \to \infty}(n-sqrt(n))(root(3)(1+2/n)-1)$

Ti propongo una strada più rapida. Nota che $n - sqrt(n) sim n$ per $n -> +oo$.

Allora $\lim_{n \to \infty}(n-sqrt(n))(root(3)(1+2/n)-1) = \lim_{n \to \infty}(root(3)(1+2/n)-1)/(1/n)$

$2/n = t$

$\lim_{t \to 0} 2 (root(3)(1+t)-1)/t = 1/3 * 2$, usando il limite notevole $lim_(y -> 0) (( 1 + y )^k - 1)/y = k$.

[killer110]

"Seneca":[quote="killer110"]$\lim_{n \to \infty}(n-sqrt(n))(root(3)(1+2/n)-1)$

Ti propongo una strada più rapida. Nota che $n - sqrt(n) sim n$ per $n -> +oo$.

Allora $\lim_{n \to \infty}(n-sqrt(n))(root(3)(1+2/n)-1) = \lim_{n \to \infty}(root(3)(1+2/n)-1)/(1/n)$

$2/n = t$

$\lim_{t \to 0} 2 (root(3)(1+t)-1)/t = 1/3 * 2$, usando il limite notevole $lim_(y -> 0) (( 1 + y )^k - 1)/y = k$.[/quote]

il limite tende ad infinito e non a 0

[Seneca1]

"Seneca":
$2/n = t$

Ho cambiato variabile. Per $n -> oo$ , $t -> 0$.