Limite di successione numerica moltiplicata a un integrale di una successione di funzioni

qwertyce1
Calcolare, se esiste, il seguente limite:

$lim_(n->+infty) sin(n) int_{1}^{2} sin(nx)/e^(x^2) dx$

L'oggetto di cui studiare il limite è una successione di funzioni costituita dal prodotto della successione numerica $sin(n)$ e della successione di funzioni $ int_{1}^{2} sin(nx)/e^(x^2) dx$, pertanto se il limite ricercato dovesse esistere allora sarà uguale al prodotto dei limiti di queste due successioni.
Il limite $lim_(n->+infty) sin(n)$ non esiste, ed essendo il seno periodico e limitato, si ha che il limite ricercato esiste se e solo se $lim_(n->+infty) int_{1}^{2} sin(nx)/e^(x^2) dx$ è nullo, e in tal caso sarà anch'esso nullo.

tale circostanza si verifica se $x=k pi $ con $k \in ZZ$, in tal caso per $AA n \in NN$ l'integranda è sempre nulla, quindi:

$if x=k pi \ \, \ \ lim_(n->+infty) sin(n) int_{1}^{2} sin(k pi)/e^((k pi)^2) dx =lim_(n->+infty) sin(n) * 0 = 0$

per $x!=k pi$ non si ha convergenza puntuale, e mancando la convergenza uniforme non posso sfruttare il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale per facilitare la valutazione del limite ricercato, e qua mi blocco, da considerazioni al variare di $n$ nell'integrale $int_{1}^{2} sin(nx)/e^(x^2) dx$, considerando che il numeratore cambia periodicamente segno mentre il denominatore è una costante positiva, mi viene da pensare che con $x!=k pi$ il limite $lim_(n->+infty) int_{1}^{2} sin(nx)/e^(x^2) dx$ non esiste e quindi non esiste neanche il limite ricercato, ma non saprei come dimostrarlo.

Risposte
Bremen000
Ciao, secondo me ti sei un po' confuso. La tua non è una successione di funzioni ma è una successione di numeri

\[ a_n = \sin(n) \int_1^2 \frac{\sin(nx)}{e^{x^2}}dx \]

Ad ogni $n$ è associato il numero \( \sin(n) \) e il numero \( \int_1^2 \frac{\sin(nx)}{e^{x^2}}dx \). Poi sono moltiplicati insieme. Nota che l'integrale "satura" la variabile $x$, cioè quello che ottieni alla fine è un numero.

qwertyce1
"Bremen000":
l'integrale "satura" la variabile $x$, cioè quello che ottieni alla fine è un numero.


si ma l'integrale, e quindi anche il numero, dipende dalla variabile x, cioè, una "successione di numeri (dipendenti da un numero reale)" non è semplicemente un modo diverso per dire successione di funzioni?

Bremen000
Ciao, no l'oggetto che hai davanti non dipende dalla $x$.

Una successione reale è una mappa \( a : \mathbb{N} \to \mathbb{R} \). Cioè è una funzione che associa ad ogni intero un numero reale.

Nel tuo caso, ovvero

\[ a_n = \sin(n) \int_1^2 \frac{\sin(nx)}{e^{x^2}}dx \]

ad esempio hai

\( a_0 = a(0) = \sin(0) \int_1^2 \frac{\sin(0)}{e^{x^2}}dx =0\)

\( a_1 = a(1) = \sin(1) \int_1^2 \frac{\sin(x)}{e^{x^2}}dx \approx 0.106418 \)

\( a_2 = a(2) = \sin(2) \int_1^2 \frac{\sin(2x)}{e^{x^2}}dx \approx 0.59798 \)

e così via. La tua è una successione numerica.

qwertyce1
"Bremen000":
Ciao, no l'oggetto che hai davanti non dipende dalla $x$.

Una successione reale è una mappa \( a : \mathbb{N} \to \mathbb{R} \). Cioè è una funzione che associa ad ogni intero un numero reale.

Nel tuo caso, ovvero

\[ a_n = \sin(n) \int_1^2 \frac{\sin(nx)}{e^{x^2}}dx \]

ad esempio hai

\( a_0 = a(0) = \sin(0) \int_1^2 \frac{\sin(0)}{e^{x^2}}dx =0\)

\( a_1 = a(1) = \sin(1) \int_1^2 \frac{\sin(x)}{e^{x^2}}dx \approx 0.106418 \)

\( a_2 = a(2) = \sin(2) \int_1^2 \frac{\sin(2x)}{e^{x^2}}dx \approx 0.59798 \)

e così via. La tua è una successione numerica.


ah vero! grazie!

ho tanta ruggine in analisi 1 e queste sono le conseguenze :D

allora, $ int_{1}^{2} sin(nx)/e^(x^2) dx$ è una successione numerica, invece l'integranda $sin(nx)/e^(x^2)$ è una successione di funzioni.

però comunque non capisco come poter risolvere questo limite, immaginavo questi esercizi si risolvessero tutti applicando il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale, ma qui non si può applicare, e mi sembra troppo semplice la mia soluzione secondo cui il limite esiste solo nei punti $x=k pi \,\ k \in ZZ$, e lì assume valore nullo.

Bremen000
Ciao,

"qwertyce":

allora, $ int_{1}^{2} sin(nx)/e^(x^2) dx $ è una successione numerica, invece l'integranda $ sin(nx)/e^(x^2) $ è una successione di funzioni.

Esatto.

"qwertyce":
mi sembra troppo semplice la mia soluzione secondo cui il limite esiste solo nei punti $ x=k pi \,\ k \in ZZ $, e lì assume valore nullo.


Questa soluzione non ha senso. Alla luce di quanto detto sopra, con la $x$ non puoi farci niente, non puoi fissarla. Conta solo quello che succede quando $n$ diventa grande. Non ha senso mettere $x=k \pi$, non si può fare.

Quindi quel limite esiste o meno del tutto indipendentemente da $x$.

Per risolvere il tuo esercizio io farei così ma magari c'è un metodo più veloce:

\[ a_n = \sin(n) \int_1^2 \frac{\sin(nx)}{e^{x^2}}dx = \sin(n) \Biggl [ -\frac{\cos(nx)}{ne^{x^2}} \Biggr ]_1^2 - \sin(n) \int_1^2 2x\frac{\cos(nx)}{ne^{x^2}}dx = \]
\[ =\frac{1}{n} \sin(n) \biggl ( \frac{\cos(n)}{e}-\frac{\cos(2n)}{e^4} \biggr ) - \frac{2\sin(n)}{n} \underbrace{\int_1^2 x \frac{\cos(nx)}{e^{x^2}}dx}_{I_n}\]

Operando la sostituzione $nx=t$ all'interno dell'integrale ottieni:
\[ I_n =\int_n^{2n} \frac{t\cos(t)}{e^{t^2/n^2}}\frac{1}{n^2} dt \]

Osservando che la funzione
\[ f(t) = e^{-t^2/n^2} \quad t \in [n , 2n]\]

è sempre decrescente, il massimo è assunto in $t=n$ dove $f(n) = \frac{1}{e} $.

Dunque

\[ |I_n| \le n \cdot 1 \cdot 2n \frac{1}{n^2e} =\frac{2}{e} \]

Infine

\[ |a_n| \le \frac{2}{ne} + \frac{4}{ne} = \frac{6}{ne} \to 0 \quad \text{quando } n \to \infty \]

E dunque \( a_n \to 0 \).

qwertyce1
Sono stato proprio duro di comprendonio, ora ho finalmente che quel limite esiste o no del tutto indipendentemente da x :D

Bellissimo ai miei occhi di ignorante questo tuo modo per risolvere il limite, non avevo capito subito che il motivo di quelle sovrastime cosi grossolane era ottenere una maggiorazione probante così semplice, grazie!

Bremen000
Di nulla, felice di essere stato d'aiuto!

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