Limite di successione n*sinx

[Riccardo_91]

Salve a tutti, voglio mostrarvi il seguente limite di successione :

$ \lim n*sin(x) $, con $ n \rightarrow +\infty $, e $ x \in [0;2\pi] $

Da un mio punto di vista, tende a $ +\infty $ in $ x \in (0;2\pi] $, e non vale in $ 0 $ dove vale effettivamente $ 0 $.
In $ 2\pi $, dividendo e moltiplicando per $ x $, trovo effettivamente che tende ancora a $ +\infty $.

Voi che dite?

[vict85]

Se \(\displaystyle x = 2\pi \) allora moltiplicare e dividere per \(\displaystyle x \) significa moltiplicare e dividere per \(\displaystyle 2\pi \) e non per \(\displaystyle x\to 0 \). La funzione seno si comporta come la funzione \(\displaystyle x \) solo intorno a \(\displaystyle 0 \).

[edit] Avevo letto male

[Riccardo_91]

Si x è fissato, perché poi avrei dovuto studiare la convergenza puntuale e uniforme di :

$ fn(x) = (x)/(1 + e^(n*sin(x))) $

Dove trovavo che convergeva puntualmente a 0 in $ [0;2\pi] $, e uniformemente in $ [0;\pi/2) $

[poll89]

Così ad occhio direi che questo limite dà 3 casi distinti da studiare. Considerato un parametro intero $k = 0, 1,...$, allora ho
${(x in (2k pi, pi + 2k pi) => lim n*sin(x) = + infty ),(x = k pi => lim n*sin(x)=0),(x in ((2k+1) pi, pi + (2k+1) pi) => lim n*sin(x) = - infty):}$

In parole povere, il segno di $sin(x)$ decide il segno dell'$infty$ a cui va la successione.

Non ho ben capito cosa intendi qui:

"Riccardo_9":In 2π, dividendo e moltiplicando per x, trovo effettivamente che tende ancora a $+infty$.

Se hai $x = k pi$, quale che sia k, sin(x) vale 0 e quindi la successione (numerica) è identicamente nulla.

[Riccardo_91]

Ok grazie!