Limite di successione fratto
Salve ho da fare questo limite di successione:
$(2^(3n)+49^(n/2))/(1+2^n-32^(3/5n))$
Io ho proceduto così:
Ho tolto quel +1 al denominatore perché il limite di una costante è sempre 0 e ho diviso quel $2^(3n)$ al numeratore in $2^n*2^(2n)$ così da poterlo semplificare con quel $2^n$ al denominatore. Ho problemi però a calcolare quel $-32^(3/5n)$ e dunque non riesco a procedere. Grazie dell'aiuto e buona serata a tutti quanti.
$(2^(3n)+49^(n/2))/(1+2^n-32^(3/5n))$
Io ho proceduto così:
Ho tolto quel +1 al denominatore perché il limite di una costante è sempre 0 e ho diviso quel $2^(3n)$ al numeratore in $2^n*2^(2n)$ così da poterlo semplificare con quel $2^n$ al denominatore. Ho problemi però a calcolare quel $-32^(3/5n)$ e dunque non riesco a procedere. Grazie dell'aiuto e buona serata a tutti quanti.
Risposte
Da quando in qua si semplificano gli addendi delle somme a numeratore e denominatore?
Non mi dirai mica che $(2+3)/(1+2) = 3/1 =3$, eh...
P.S.: L'algebra di base va saputa.
Inoltre, per risolvere il limite, prova a giocare un po' con quelle potenze e vedi se ti riesce di ridurle (se non tutte, almeno alcune) ad una stessa base. Poi, vedi quali sono i termini che "tirano la carretta" (i.e., gli infiniti d'ordine superiore).
Non mi dirai mica che $(2+3)/(1+2) = 3/1 =3$, eh...
P.S.: L'algebra di base va saputa.
Inoltre, per risolvere il limite, prova a giocare un po' con quelle potenze e vedi se ti riesce di ridurle (se non tutte, almeno alcune) ad una stessa base. Poi, vedi quali sono i termini che "tirano la carretta" (i.e., gli infiniti d'ordine superiore).
Intanto grazie mille della risposta. Forse mi sono espresso male: io ho tolto quel +1 perché essendoci ad esempio un $2^n$, che è un numero molto molto grande, ho ritenuto (probabilmente sbagliando) che quel +1 non avrebbe contribuito al risultato. Invece ho diviso $2^(3n)$ con $2^n$ sottraendo gli esponenti perché hanno la stessa base.
Per quanto riguarda $49^(n/2)$ posso esprimerlo come potenza di potenza e diventerebbe dunque $(7^2)^(n/2)$ e dunque il risultato finale è $7^n$. E ragionando allo stesso modo mi verrebbe $-(2^5)^(3/5n)$ e dunque -8. Giusto?
Per quanto riguarda $49^(n/2)$ posso esprimerlo come potenza di potenza e diventerebbe dunque $(7^2)^(n/2)$ e dunque il risultato finale è $7^n$. E ragionando allo stesso modo mi verrebbe $-(2^5)^(3/5n)$ e dunque -8. Giusto?
Ciao @SimoneSc e ciao anche @gugo, ovviamente !
Allora, come dice gugo, in quest'espressione lavoriamo un po' con le potenze: $(2^(3n)+49^(n/2))/(1+2^n-32^(3/5n)) -> (2^(3n)+7^(2*n/2))/(1+2^n-2^(5*3/5n))->(2^(3n)+7^n)/(1+2^n-2^(3n))$. Ora, credo di aver capito male
non puoi semplificare avendo una somma al numeratore e al denominatore. Prima dobbiamo raccogliere e, dopo, semplificare.
Come dice ancora gugo, andiamo a raccogliere gli infiniti di ordine superiore: $(2^(3n)(1+7^n/2^(3n)))/(2^(3n)(1/2^(3n)+1/2^(2n)-1)$. A questo punto semplifico $2^(3n)$ e noto che tutte le frazioni sono infinitesimi (tendono a 0), per cui il limite vale -1.
Spero sia tutto chiaro. Se hai altri dubbi chiedi pure.
Saluti
Allora, come dice gugo, in quest'espressione lavoriamo un po' con le potenze: $(2^(3n)+49^(n/2))/(1+2^n-32^(3/5n)) -> (2^(3n)+7^(2*n/2))/(1+2^n-2^(5*3/5n))->(2^(3n)+7^n)/(1+2^n-2^(3n))$. Ora, credo di aver capito male
"SimoneSc":
ho diviso quel $2^(3n)$ al numeratore in $2n⋅2^(2n)$ così da poterlo semplificare con quel $2^n$ al denominatore
non puoi semplificare avendo una somma al numeratore e al denominatore. Prima dobbiamo raccogliere e, dopo, semplificare.
Come dice ancora gugo, andiamo a raccogliere gli infiniti di ordine superiore: $(2^(3n)(1+7^n/2^(3n)))/(2^(3n)(1/2^(3n)+1/2^(2n)-1)$. A questo punto semplifico $2^(3n)$ e noto che tutte le frazioni sono infinitesimi (tendono a 0), per cui il limite vale -1.
Spero sia tutto chiaro. Se hai altri dubbi chiedi pure.
Saluti
Ciao SimoneSc,
Ti faccio innanzitutto notare che quello che hai scritto nell'OP non è un limite, ma una semplice successione fratta...
Poi tutti abbiamo congetturato che cercassi il $lim_{n \to +\infty} $ di quella successione fratta, ma non l'hai scritto.
Secondariamente, il limite proposto può essere facilmente ricondotto ad uno con la sola potenza $n$:
$\lim_{n \to +\infty} (2^(3n)+49^(n/2))/(1+2^n-32^(3/5n)) = \lim_{n \to +\infty} (8^n + 7^n)/(1+2^n -8^n) = \lim_{n \to +\infty} (8^n(1+7^n/8^n))/(8^n(1/8^n+1/4^n - 1)) = - 1 $
Ti faccio innanzitutto notare che quello che hai scritto nell'OP non è un limite, ma una semplice successione fratta...
Poi tutti abbiamo congetturato che cercassi il $lim_{n \to +\infty} $ di quella successione fratta, ma non l'hai scritto.
Secondariamente, il limite proposto può essere facilmente ricondotto ad uno con la sola potenza $n$:
$\lim_{n \to +\infty} (2^(3n)+49^(n/2))/(1+2^n-32^(3/5n)) = \lim_{n \to +\infty} (8^n + 7^n)/(1+2^n -8^n) = \lim_{n \to +\infty} (8^n(1+7^n/8^n))/(8^n(1/8^n+1/4^n - 1)) = - 1 $
Grazie mille a entrambi! Nella mia mente filava tutto, ma era perché avevo commesso degli errori 
che però mi avete corretto e che fortunatamente ho compreso. Farò più attenzione e controllerò sempre se riesco a semplificare il numeratore e il denominatore. Buona serata, ora per punizione vado a fare altri esercizi di analisi!!!
che però mi avete corretto e che fortunatamente ho compreso. Farò più attenzione e controllerò sempre se riesco a semplificare il numeratore e il denominatore. Buona serata, ora per punizione vado a fare altri esercizi di analisi!!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo