Limite di successione - Esame di Analisi Ingegneria
Buongiorno a tutti!
Ho un grosso problema:
non riesco a calcolare questo limite!
Ho provato ad approssimare $cos(1/n)$ in $1/n$, che mi permette di usare il limite notevole e rendere il primo fattore del numeratore un $e^(-2/n)$, cioè $1$.
Poi ho provato a usare lo stesso limite notevole su $log[(e^3 + 1/n)^n]$, il che lo rende $e^(3+1/e^3)$.
Ho scritto il denominatore come $(n+4)^(a/2)$ e poi mi son bloccato.
Si, perchè il risultato dovrebbe essere:
- $0$ per $a>-6$
- $7/4$ per $a=-6$
- $+$infinito per $a<-6$
E' evidente che ho sbagliato qualcosa. Se non tutto!
Qualcuno riesce a darmi una mano?
Ho l'esame di analisi il 29
Vi ringrazio in anticipo,
Andrea
Ho un grosso problema:
non riesco a calcolare questo limite!
Ho provato ad approssimare $cos(1/n)$ in $1/n$, che mi permette di usare il limite notevole e rendere il primo fattore del numeratore un $e^(-2/n)$, cioè $1$.
Poi ho provato a usare lo stesso limite notevole su $log[(e^3 + 1/n)^n]$, il che lo rende $e^(3+1/e^3)$.
Ho scritto il denominatore come $(n+4)^(a/2)$ e poi mi son bloccato.
Si, perchè il risultato dovrebbe essere:
- $0$ per $a>-6$
- $7/4$ per $a=-6$
- $+$infinito per $a<-6$
E' evidente che ho sbagliato qualcosa. Se non tutto!
Qualcuno riesce a darmi una mano?
Ho l'esame di analisi il 29
Vi ringrazio in anticipo,
Andrea
Risposte
Hai approssimato [tex]\cos\left(\frac{1}{n}\right)[/tex] come [tex]\frac{1}{n}[/tex] cosa palesemente sbagliata dato che per [tex]n\to+\infty[/tex] il coseno certamente non tende a zero.
Direi di utilizzare un limite notevole per [tex]\left[1-\cos\left(\frac{1}{n}\right)\right]^2[/tex]
Direi di utilizzare un limite notevole per [tex]\left[1-\cos\left(\frac{1}{n}\right)\right]^2[/tex]
E che limite notevole sarebbe $[1 - cos(1/n)]^2$?
Per il resto i passaggi sono giusti?
Per il resto i passaggi sono giusti?
$cos(1/n)$ va a 1, proprio perchè $1/n$ va a 0, quindi sicuramente non esiste nessun teorema al mondo che ti permetta di scambiarli per n che tende all'infinito.
Io userei Taylor per sviluppare il primo termine del numeratore (a occhio, non ci ho provato)
Per il secondo userei il fatto che
$(e^3+1/n) = e^3(1+1/(n*e^3))$ da cui $(e^3+1/n)^n=[e^3(1+1/(n*e^3))]^n = e^(3n)(1+1/(n*e^3))^n= e^(3n)((1+1/(n*e^3))^(n*e^3))^(e^(-3))$
fai il log di quella roba e ti viene $3n+log(((1+1/(n*e^3))^(n*e^3))^(e^(-3))) = 3n+e^(-3)log((1+1/(n*e^3))^(n*e^3))$ il secondo termine fa un po' schifo ma per n che tende all'infinito diventa $e^(-3)log(e) = e^-3$
Io userei Taylor per sviluppare il primo termine del numeratore (a occhio, non ci ho provato)
Per il secondo userei il fatto che
$(e^3+1/n) = e^3(1+1/(n*e^3))$ da cui $(e^3+1/n)^n=[e^3(1+1/(n*e^3))]^n = e^(3n)(1+1/(n*e^3))^n= e^(3n)((1+1/(n*e^3))^(n*e^3))^(e^(-3))$
fai il log di quella roba e ti viene $3n+log(((1+1/(n*e^3))^(n*e^3))^(e^(-3))) = 3n+e^(-3)log((1+1/(n*e^3))^(n*e^3))$ il secondo termine fa un po' schifo ma per n che tende all'infinito diventa $e^(-3)log(e) = e^-3$
Visto che parli di approssimazioni, sai che $1-cosx$ per x infinitesimo, è asintoticamente equivalente a $\frac{x^2}{2}$. In poche parole:
$1-cosx \approx \frac{x^2}{2}$
Poi... fossi in te uscirei l'n dal logaritmo, dato che in se $ln(e^3+\frac{1}{n})$ non è una forma indeterminata ( non lo era nemmeno con l'n esponente ).
E considererei $(n+4)^\frac{\alpha}{2} \approx n^\frac{\alpha}{2}$.
Basta mettere tutta la pappardella insieme e ti trovi facilmente il risultato in funzione di $\alpha$
$1-cosx \approx \frac{x^2}{2}$
Poi... fossi in te uscirei l'n dal logaritmo, dato che in se $ln(e^3+\frac{1}{n})$ non è una forma indeterminata ( non lo era nemmeno con l'n esponente ).
E considererei $(n+4)^\frac{\alpha}{2} \approx n^\frac{\alpha}{2}$.
Basta mettere tutta la pappardella insieme e ti trovi facilmente il risultato in funzione di $\alpha$
Allora, quello a cui sono giunto è:
- $[1-cos(1/n)]^2$ = $1/4n^4$
- $log[(e^3+1/n)^n]$ = $3+1/e^3$
Quindi mi viene:
$(3+1/e^3)/[4n^4*n^(a/2)]
E non mi sembra che i risultati vengano quelli che dovrebbero essere
Qualcuno sa dirmi dove ho sbagliato?
- $[1-cos(1/n)]^2$ = $1/4n^4$
- $log[(e^3+1/n)^n]$ = $3+1/e^3$
Quindi mi viene:
$(3+1/e^3)/[4n^4*n^(a/2)]
E non mi sembra che i risultati vengano quelli che dovrebbero essere
Qualcuno sa dirmi dove ho sbagliato?
"AndreaC89":
Allora, quello a cui sono giunto è:
- $[1-cos(1/n)]^2$ = $1/4n^4$
- $log[(e^3+1/n)^n]$ = $3+1/e^3$
Quegli uguali prendili con le pinze, asintoticamente equivalenti non significa che sono uguali. Comunque:
- $[1-cos(1/n)]^2 \sim \frac{1}{4n^4}$
- $log[(e^3+1/n)^n] = n \cdot ln(e^3 + 1/n) \sim n \cdot ln(e^3) = 3n$
L'equazione diventa:
$lim \frac{ \frac{1}{4n^4} \cdot 3n }{n^{\frac {\alpha}{2}}} = \frac {3}{4} lim \frac {1}{n^{\frac {\alpha}{2} + 3 }}$
Avevo sbagliato a trascrivere $1/(4n^4)$con $1/4n^4$ 
Cmq i tuoi calcoli non fanno una piega, eppure se $a=-6$ risulta $3/4$ e non $7/4$..
Son cavilli eh, però non mi spiego come sia possibile ottenere $7/4$...
Innanzitutto ti ringrazio perchè mi hai dato una grande mano
e se riuscissi a capire perchè mi faresti un (altro) enorme favore!
Cmq i tuoi calcoli non fanno una piega, eppure se $a=-6$ risulta $3/4$ e non $7/4$..
Son cavilli eh, però non mi spiego come sia possibile ottenere $7/4$...
Innanzitutto ti ringrazio perchè mi hai dato una grande mano
e se riuscissi a capire perchè mi faresti un (altro) enorme favore!
mmm... ho riguardato i calcoli però sinceramente non riesco a vedere dove sta l'errore. Vedi se qualche tuo collega ne sa di più, oppure aspettiamo se qualcun'altro qui riesce a risolvere l'enigma
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