Limite di successione elementare(dimostrazione):
Buonasera, ripassando la teoria dei limiti incontro $lim_(n->+∞)a^n$ e volendo dimostrare quest'ultimo ho notato delle lacune. Innanzitutto se $a>1$ utilizzo la disuguaglianza di Bernoulli, se $a=1$ il limite è banalmente 1, se $a≤-1$ il limite non esiste perchè oscillerebbe tra -1 e 1 a seconda che n sia pari o dispari, e nell'ultimo caso: $-11$ e quindi si ottiene $lim_(n->+∞)a^n$ = $lim_(n->+∞)1/(1/|a|)^n=0$, non capisco come si possa passare a quest'ultimo limite..
Risposte
Hai inteso male,forse:
il libro t'avrà detto che $AA a in(-1,1)$ $EElim_(n to oo)|a^n|=lim_(n to oo)1/((|1/a|)^n)=0$
(per quanto hai appena verificato,avendosi $|1/a|=1/(|a|)>1$ $AA a in(-1,1)$..)$rArrAA a in(-1,1)$ $EElim_(n to oo)a^n=0$,
e quest'ultima implicazione è giustificata dal fatto che $EElim_(n to oo)b_n=0hArrEElim_(n to oo)|b_n|=0$ (*).
Saluti dal web.
(*)Il caso in cui una successione è infinitesima è l'unico nel quale,senza aggiunta d'ulteriori ipotesi,
si può invertire la proposizione $EElim_(n to oo)b_n=l rArr EElim_(n to oo)|b_n|=|l|$:
la dimostrazione di questo fatto ti dovrebbe esser nota sebbene,qualora non lo fosse,
non è impossibile colmare la lacuna da sola/o sfruttando la def. di limite d'una successione ed una proprietà abbastanza evidente del valore assoluto..
il libro t'avrà detto che $AA a in(-1,1)$ $EElim_(n to oo)|a^n|=lim_(n to oo)1/((|1/a|)^n)=0$
(per quanto hai appena verificato,avendosi $|1/a|=1/(|a|)>1$ $AA a in(-1,1)$..)$rArrAA a in(-1,1)$ $EElim_(n to oo)a^n=0$,
e quest'ultima implicazione è giustificata dal fatto che $EElim_(n to oo)b_n=0hArrEElim_(n to oo)|b_n|=0$ (*).
Saluti dal web.
(*)Il caso in cui una successione è infinitesima è l'unico nel quale,senza aggiunta d'ulteriori ipotesi,
si può invertire la proposizione $EElim_(n to oo)b_n=l rArr EElim_(n to oo)|b_n|=|l|$:
la dimostrazione di questo fatto ti dovrebbe esser nota sebbene,qualora non lo fosse,
non è impossibile colmare la lacuna da sola/o sfruttando la def. di limite d'una successione ed una proprietà abbastanza evidente del valore assoluto..
Scusa la mia ignoranza, ho capito che è stata applicata un importante proprietà del valore assoluto, ma non riesco proprio a capire come si possa passare da $lim_(n->oo)(a^n)$= $lim_(n->oo)(1)/(1/|a|)^n$ il fatto che tale limite sia zero è ovvio, ma non capisco il perchè il libro scrive il limite precedente nella nuova forma...Scusa ancora dei miei dubbi, ma se non capisco non vado avanti poi ... e la ringrazio anticipatamente per la sua cortesia.
[OT]
La cortesia è d'uso,in questo Forum(sopratutto coi dubbi così ben esposti come hai fatto
),
ma non lo è il pronome di cortesia:
ma che è stà mania di darmi tutti il lei,in questi giorni?
Volete trovare il solo modo per farmi scappare da quì a gambe levate
?
[/OT]
Osserva che $|a|^n$(e non $a^n$ come hai scritto o,forse,leggi per errore di stampa..)$=$
$=1/(|a|^(-n))$ $AA a in(-1,1)" t.c. "a ne 0$,$AA n inNN$
(anche se per $a=0$ la ts è ovviamente vera,dai..):
ecco perchè ho rispolverato quella equivalenza logica.
Saluti dal web.
La cortesia è d'uso,in questo Forum(sopratutto coi dubbi così ben esposti come hai fatto
),ma non lo è il pronome di cortesia:
ma che è stà mania di darmi tutti il lei,in questi giorni?
Volete trovare il solo modo per farmi scappare da quì a gambe levate
?[/OT]
Osserva che $|a|^n$(e non $a^n$ come hai scritto o,forse,leggi per errore di stampa..)$=$
$=1/(|a|^(-n))$ $AA a in(-1,1)" t.c. "a ne 0$,$AA n inNN$
(anche se per $a=0$ la ts è ovviamente vera,dai..):
ecco perchè ho rispolverato quella equivalenza logica.
Saluti dal web.
Uuuuh giusto! che sbadata xD grazie mille del tuo aiuto 
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