Limite di successione. Edit: Convergenza in Lp

[DajeForte]

Pensando alle norme degli spazi $L^p$ sono finito su questo semplice fatto.

Sia $a_n$ una successione reale non negativa convergente ad $a$.
E' vero che, $forall p>0$, $a_n^p$ converge a $a^p$.

[theras]

Ciao,Daje!
Certo che è vero!
Come t'è venuto il dubbio?
Qualche conto sugli spazi $L^p$ ti quadrerebbe mejo,se così non fosse?
Fosse così è probabile che lo stai prendendo dal lato meno idoneo:
buona riflessione,e
Saluti dal web.

[DajeForte]

Ciao theras.
Che è vero è semplice (io ho usata la lipchizianità addirittura ).

Se $||f_n-f||_p to 0$ allora $int_{Omega}|f_n-f|^p to 0$ e vice versa.

Si vede che $||\ \ |f_n|\ \ ||_p \ \ to \ \ || \ \ |f| \ \ ||_p$

Mi chiedevo se si avesse che $||\ \ f_n\ \ ||_p \ \ to \ \ || \ \ f \ \ ||_p$ ovviamente per quei $p$ che non creino problemi.
Ovviamente è immediato per $p=1$, e devo dire che oggi ho accantonato il problema ma ancora non ho una risposta.

Voi potete aiutarmi?

In definitiva volvo vedere se $int_{Omega}f_n^p \ to \ int_{Omega} f^p$
Mi pare immediato ma ancora non ho trovato una maniera.
Bah vediamo...

Faccio un EDIT: ovviamente $|| \ \ |f| \ \ ||_p = || \ \ f \ \ ||_p$. Quello che voglio vedere è se $int_{Omega}f_n^p \ to \ int_{Omega} f^p$

[dissonance]

Se vuoi dimostrare che

\[\lVert f_n - f \rVert_p \to 0 \Rightarrow \lVert f_n\rVert_p \to \lVert f \rVert_p, \]

la strada più immediata penso sia la disuguaglianza triangolare inversa:

\[\big\lvert \lVert f_n \rVert_p-\lVert f \rVert_p \big\rvert \le \lVert f_n-f\rVert_p\qquad \text{se}\ p\ge 1.\]

Ma non sono sicuro di avere capito il problema...

[EDIT] Aaaahh ecco ho capito! Questo ragionamento su riportato vale per \( p \ge 1\). E per \(0

\[\lVert f_n - f \rVert_p \le \big\lvert \lVert f_n \rVert_p - \lVert f \rVert_p \big\rvert, \qquad 0

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[DajeForte]

Ciao dissonance.

No non era quella la questione. Ammetto che non sono stato molto chiaro.

La questione degli spazi $L^p$ per $0 Gli spazi sono sempre spazi vettoriali infatti $|f+g|^p<=(|f|+|g|)^p<=(2max{|f|+|g|})^p<=2^p(|f|^p+|g|^p)$
In questo caso però $||f||_p$ non soddisfa la disuguaglianza triangolare.
Infatti se $p=1/2$ e $f=(1,0)$ e $g=(0,1)$ abbiamo che
$||\ (1,1)\ ||_p=4>1+1=|| \ (1,0)\ ||_p+||\ (0,1)\ ||_p$ dunque $|| cdot ||_p$ non è una norma.

Si vede però che $||f+g||_p^p <= ||f||_p^p + ||g||_p^p$; dunque $||cdot||_p^p$ soddisfa la disuguaglianza triangolare però non è omogenea di grado 1 Questo segue dalla concavità di $u(x)=x^p$.
Tuttavia da questa disuguaglianza discende che $d_p(f,g)=||f-g||_p^p$ è una metrica e lo spazio è completo rispetto a questa.

La disuguaglianza che scrivi

"dissonance":\[\lVert f_n - f \rVert_p \le \big\lvert \lVert f_n \rVert_p - \lVert f \rVert_p \big\rvert, \qquad 0
non è vera. Basta considerare l'esempio di prima ovvero due funzioni che abbiano stessa "norma" (il membro di destra è 0) ma che non siano q.o. uguali.
Si potrebbe poi riapplicare lo stesso giochino della triangolare inversa ed ottenere:

\[
|\ \ ||f||_p^p - ||g||_p^p \ \ | \leq ||f-g||_p^p
\]
La versione che hotrovato della disuguaglianza inversa (di cui però non ho visto la dimostrazione) è:
\[
||\ \ |f|+|g|\ \ ||_p \geq ||f||_p + ||g||_p
\]
Notare i moduli; mi pare chiaro che senza fallirebbe.

Veniamo alla questione. Senza perdita di chiacchiere, schiettamente mi chiedo:
se $p=3$ è vero che
\[
\int |f_n-f|^3 \to 0 \Rightarrow \int f_n^3 \to \int f^3
\]
dunque senza i moduli. Mi pare di si, e mi verebbe da smanettare con parti negative e positive delle funzioni ma ancora nisba.
E poi mentre ti/vi scrivo mi viene in mente:
se $f,f_1,f_2,...$ sono in $L^p$ e $f_n to f$ in $L^p$ allora
considerando la successione $f^p,f_1^p,f_2^p,...$ (per i p che non creino problemi con le potenze) queste sono in $L_1$.
Si mantiene la convergenza in $L_1$, ovvero $f_n^p to f^p$ in $L_1$.

[Rigel1]

Dovrebbe bastare questo:
\[
|\int f_n^3 - \int f^3 | \leq \int |f_n^3 - f^3|.
\]

[DajeForte]

Ma poi come ricavi che $|| f_n^3-f^3||_1$ converge a 0?

[DajeForte]

Come scrivevo su un altro thread sono riuscito a dimostrare quello che volevo mediante un teorema sulla convergenza in media (Vitali's convergence theorem).

Ho comunque posto la questione su un altro forum e questa e' la risposta che mi hanno dato.

Siano $f,f_1,f_2,...$ funzioni in $L^p$, per $p geq 1$, tali che $||f_n-f||_p to 0$.
Allora ${|f_n|^p}_n$ e ${f_n^p}_n$ (quando questo secondo ha senso) convergono in $L^1$ a $|f|^p$ e $f^p$ rispettivamente.

Dal mean value theorem si ha che per ogni $a,b \in RR$:
\[
|a^p-b^p|\ \ \leq \ \ p(\max\{|a|,|b|\})^{p-1} |a-b| \ \ \leq \ \ p (|a|+|b|)^{p-1} |a-b|.
\]

Dunque, definendo con $q$ l'esponente coniugato, si ha (Holder-Minkowski):
\[
\int\bigl|\,|f_n|^p-|f|^p\,\bigr|\le p\int\bigl(|f_n|+|f|\bigr)^{p-1}|f_n-f|\le p\Bigl(\int\bigl(|f_n|+|f|\bigr)^{(p-1)q}\Bigr)^{1/q}\Bigl(\int|f_n-f|^{p}\Bigr)^{1/p},
\]

ovvero
\[
\||f_n|^p-|f|^p\|_1\le p(\||f_n|+|f|\|_p)^{p/q}\|f_n-f\|_p\le p(\|f_n\|_p+\|f\|_p)^{p/q}\|f_n-f\|_p.
\]

Osservando che $||f_n||_p to ||f||_p < + infty$ si ha che $||\ |f_n|^p-|f|\ ^p||_1 to 0$.

Un discorso analogo vale per $||\ f_n^p-f\ ^p||_1$.

Mi hanno infine fatto notare che questo mostra che i due operatori $T_1,T_2: L^p to L^1$, definiti come $T_1(f)=|f|^p$ e $T_2(f)=f^p$ sono localmente lipchiziani.

[DajeForte]

Ho un'altra soluzione che vi mostro, poi quando ho piu' tempo vi mostro la mia che e' un po' lunghetta .

La dimostrazione poggia su questi fatti.
Una successione $a_n$ converge ad $a$ se e solo se per ogni sottosuccessiione esiste una sua sottosuccessione convergente ad $a$. (Questa era stata chiesta nel forum un po' di tempo fa)

Se $f_n to f$ in $L^p$, funzioni in $L^p$, esiste una sottosuccessione $f_{n_k}$ convergente a.e. to $f$. Questo lo si dimostra implicitamente quando si dimostra la completezza degli spazi $L^p$. C'e' sul Rudin Real and Complex.

E poi questo teorema dovuto a Riesz.
Se $f_n to f$ a.e., funzioni in $L^p$, $||f_n||_p to ||f||_p$ allora $||f_n-f||_p to 0$.

Considerando la disuguaglianza $|f_n-f|^p \leq 2^p (|f_n|^p+|f|^p)$ si ha
\[
h_n = 2^p (|f_n|^p + |f|^p) - |f_n - f|^p \geq 0
\]
Applicando il lemma di Fatou si ottiene
\[
\liminf \int 2^p (|f_n|^p + |f|^p) - |f_n - f|^p \geq \int \liminf 2^p (|f_n|^p + |f|^p) - |f_n - f|^p
\]
da cui
\[
\limsup \int |f_n-f|^p =0
\]

Adesso consideriamo $a_n= int |\ |f_n|^p - |f|^p \ | = ||\ |f_n|^p - |f|^p\ ||$.
Consideriamo una generica sottosequenza $a_{n_k}$. Siccome $f_n to f$ in $L^p$ allora lo stesso fa $f_{n_k}$.
Allora e' possibile estrarre una sotto-sotto-successione $f_{n_{k_l}}$ tale che converga a $f$ a.e. ed ovviamente anche in $L_p$. Chiamo $h_l=|f_{n_{k_l}}|^p$.
Chiaramente $h_l to |f|^p$ a.e. ed $ ||h_l||_1 to ||\ |f|^p\ ||_1$.

Dunque applicando il teorema di Riesz alla sottosuccessione di $a_{n_k}$ si ottiene
\[
|| \ \ h_l-|f|^p\ \ ||_1 \to 0.
\]