Limite di successione e Derivabilità/Continuità

[Licron]

Ho due esercizi che non riesco a capire come approcciare per risolverli.
Il primo è un limite di successione:

$\lim_{n \to \infty}(sin^2(3 + sinn))^n$

Penso che si debba fare una maggiorazione o minorazione, ma non riesco a trovare quella giusta.


Invece il secondo esercizio è studiare la continuità e la derivabilità al variare $a,b in RR$ in $[-1;1]$

${([1/|x|]^a, se x in [-1;1] - {0}), (b, se x=0):}$

Per la continuità se non sbaglio dovrebbe essere che a non può essere > 0, mentre se è < 0 è continua, con b che deve essere 0. Manca da valutare a = 0, che non saprei. E anche per la derivabilità non saprei esattamente cosa fare.

[bradipo90]

guarda per il limite potresti provare con quelle formulette $sinalpha=2t/(1+t^2)$ con $t=tg(alpha/2)$, le conosci? mentre fai attenzione a cosa succede se è $-1

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[Lorin1]

PEr quanto riguarda il primo limite di successioni prova a vederlo in questo modo $e^(nlog(sin^2(3+sinn)))$ e poi applica qualche considerazione riguardo le proprietà della funzione seno, ad esempio che è limitata, cioè $|sinn|<=1$

@bradipo90: fai attenzione che non si possono applicare le formule trigonometriche in questo caso.

[bradipo90]

hai ragione scusa, poi pensata in questo modo, diventa molto facile da vedere

[Licron]

Usando i tuoi consigli Lorin, arrivo a questa disuguaglianza $e^(2n(log(sin(2)))) <= e^(2n(log(sin(3 +sinn)))) <= e^(2n(log(sin(4))))$, che mi porta a dire che il limite tende a 0 per il teorema dei carabinieri. Giusto?

Invece per il secondo esercizio, giustamente, come dice bradipo, se $a = 0$ $b$ deve valere 1, altrimenti c'è salto. Invece le altre considerazioni fatte all'inizio vanno bene? Per la derivabilità da dove posso partire?

[Lorin1]

Si va bene...ma non mi trovo con la tua conclusione. Seguendo il tuo ragionamento il limite dovrebbe fare $+oo$

EDIT: Essendo una successione sempre positiva, puoi anche evitare di applicare il teorema del confronto, anche perchè dal basso non la puoi limitare comunque. Infatti basta trovare una che la maggiora e il gioco è fatto.

RIEDIT : controllando meglio, il $log(sin4)<0$ quindi il limite totale tende a zero. Pardon!

[Licron]

Terrò conto che si può evitare di usare il teorema del confronto.