Limite di successione e confronto esponenziali e fattoriali
Ho questo limite:
$lim_(n->infty)n^(n!)-(n!)^n$
Per quanto la soluzione è chiara e banale intuitivamente ($+infty$), rigorosamente non so come comportarmi. Applicando il criterio della radice o del rapporto non riesco a procedere, mi potete aiutare? Grazie.
$lim_(n->infty)n^(n!)-(n!)^n$
Per quanto la soluzione è chiara e banale intuitivamente ($+infty$), rigorosamente non so come comportarmi. Applicando il criterio della radice o del rapporto non riesco a procedere, mi potete aiutare? Grazie.
Risposte
forse dico una cavolata, ma "il criterio della radice o del rapporto" si applicano certamente alle serie.... ma anche ai limiti? A me non risulta
"scrittore":
forse dico una cavolata, ma "il criterio della radice o del rapporto" si applicano certamente alle serie.... ma anche ai limiti? A me non risulta
Ai limiti delle serie senza dubbio! Mi risulta che data una successione $a_n$ e sia questa $>=0$ definitivamente, calcolando il limite di $root(n)(a_n)$ e supponendo che esista e questo limite tendi ad un $l$ compreso tra 0 escluso e infinito positivo incluso se $l>1$ allora $a_n$ tende a $infty$, se $l<1$ allora $a_n$ tende a 0, se $l=1$ non si può concludere nulla. Stessa cosa per il rapporto, con opportune modifiche.
Qualche intuizione su come risolvere il limite formalmente?
scusami! Tu hai scritto "limite di successione" e io pensavo di "funzione"! Devo essermi sbagliato a causa del fatto che ho letto limite di X (solitamente usato per casi in R) e non limite di N. Me sbadato! 
"scrittore":
scusami! Tu hai scritto "limite di successione" e io pensavo di "funzione"! Devo essermi sbagliato a causa del fatto che ho letto limite di X (solitamente usato per casi in R) e non limite di N. Me sbadato!
Sono io che ho scritto lim di x! Perdonami!
chiamiamo la prima serie a e la seconda b. Supponiamo per assurdo che il limite di $a-b = k$ (valore reale) allora possiamo scrivere: $a-b=k$ quindi $(a-b)/b=k/b$ quindi $a/b-1=k/b$ ossia $a/b=k/b+1$. (in realtà avrei dovuto mettere il limite per x che tende ad infinito davanti ai 2 membri dell'uguaglianza)
Stiamo dicendo che il rapporto tra le 2 serie è uguale a 1 (dato che k è una costante e b tende ad infinito).
Quindi $a/b=1$
Studiamo quindi il limite del rapporto tra le due serie e vediamo se fa davvero 1...
$n^(n!)/(n!)^n=((n^n)^((n-1)!))/(n^n*(n-1)!^n)=(n^((n-1)!)/(n*(n-1)!))^n=infty$
Infinito non è 1, quindi siamo giunti ad una contraddizione, il limite non è un numero. Quindi il limite è infinito o meno infinito. Come fare a capirlo?
Il fatto che il limite di $a/b$ sia infinito, significa che $a>b$, quindi il limite della successione da te postata è infinito.
Spero di non aver commesso errori!
Stiamo dicendo che il rapporto tra le 2 serie è uguale a 1 (dato che k è una costante e b tende ad infinito).
Quindi $a/b=1$
Studiamo quindi il limite del rapporto tra le due serie e vediamo se fa davvero 1...
$n^(n!)/(n!)^n=((n^n)^((n-1)!))/(n^n*(n-1)!^n)=(n^((n-1)!)/(n*(n-1)!))^n=infty$
Infinito non è 1, quindi siamo giunti ad una contraddizione, il limite non è un numero. Quindi il limite è infinito o meno infinito. Come fare a capirlo?
Il fatto che il limite di $a/b$ sia infinito, significa che $a>b$, quindi il limite della successione da te postata è infinito.
Spero di non aver commesso errori!
Ok, grazie scrittore!
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