Limite di successione - Dubio correttezza procedura

[batu95]

Mi scuso già da subito se il titolo del post è molto simile a quello precedente, ma a non pubblicare tutto nel precedente ho pensato di aprire questo altro Post per rendere anche più snella la consultazione in futuro da parte di altri utenti. Vorrei chiedere, sempre se possibile, a voi sulla correttezza della procedura per la risoluzione del seguente limite di funzione:

$ lim_{n\rightarrow oo} [2^n+n!+n^(10)]*sin(8arctan(n!)) $

Scomponendo ottengo che:

1) $ arctan(n!) = pi/2 $ quindi $ sin(8*pi/2) = sin(4pi) = 0 $, dunque sapendo che l'argomento del Seno tende a 0, applico la sostituzione $ sin(x) = x $, ottenendo $ sin(8arctan(n!) = sin (8*pi/2) = 8*pi/2 = 4pi $

2) Dentro la parentesi, noto che "comanda" $2^n$. Confrontando i singoli termini ho che:

$ lim_{n\rightarrow oo} 2^n/(n!) = (e^(nlog(2)))/(e^log(n!)) = e^((nlog(2)-log(n!))) = e^(n(log(2)-(log(n!)/n))) = e^(n(log(2)-0)) = e^n = oo $

$ lim_{n\rightarrow oo} 2^n/(n^10) = (e^(nlog(2)))/(e^(10log(n))) = e^((nlog(2)-10log(n))) = e^(n(log(2)-(10log(n)/n))) = e^(n(log(2)-0)) = e^n = oo $

Ricomponendo ho che:

$ lim_{n\rightarrow oo} [2^n+n!+n^(10)]*sin(8arctan(n!)) = lim_{n\rightarrow oo} [2^n]4pi = oo $

Controllando su Wolfram il risultato è corretto, però ho dei dubbi sul procedimento e sulla sostituzione del seno iniziale, perché stavo pensando che magari andrebbe sviluppata con Taylor ad un ordine superiore del primo. Grazie in anticipo!

[Weierstress]

A me sembra vada bene.

[otta96]

Non ho controllato tutto, ma sicuramente questo non va bene:

"batu95":2) Dentro la parentesi, noto che "comanda" $2^n$.

[Weierstress]

Uh uh, giusto, non me n'ero accorto ovviamente comanda $n!$

[batu95]

Cavolo, si! Ho fatto un po di confusione, l'avrò visto come un $ n^n $, ecco dove stava l'errore. Ora che ci penso è anche sbagliato il fatto del confronto, in quanto avrei dovuto utilizzare il criterio del rapporto. Grazie mille a tutti e due!