Limite di successione. Dubbio procedimento..

[55sarah]

CIao a tutti, sono alle prese con un limite di successione, che mi viene zero, ma non so se è il procedimento più veloce e adatto. Controllate se vi è qualche errore e ditemi anche se esiste un metodo più veloce. Grazie in anticipo.

Siano $a_n=\cos(1/n)$ e $b_n=n^{3/2}\ln(n+1)-n^2$. Calcolare il seguente limite $\lim (-1)^n(1-a_n)\arctan(b_n)$

ho svolto così

$\lim_n (-1)^n(1-\cos(1/n))\arctan(n^{3/2}\ln(n+1)-n^2)=$

$=\lim_n (-1)^n((1)/(2n^2)+o((1)/(n^2)))(\pi/2-\arctan((1)/(n^{3/2}\ln(n+1)-n^2)))=$ (*)

allora $(1)/(2n^2)+o((1)/(n^2))\sim (1)/(2n^2)\rightarrow 0$ per $n\rightarrow+\infty$

poi $\pi/2-\arctan((1)/(n^{3/2}\ln(n+1)-n^2))=\pi/2 - 0=\pi/2$ per $n\rightarrow+\infty$

quindi (*)$=\lim_n (-1)^n\cdot 0 \cdot \pi/2=0$

il limite è zero..
È esatto? Grazie in anticipo.

[Palliit]

Ciao. Magari sbaglio, ma mi verrebbe da dire che: $-pi/2<\arctan (b_n)<+pi/2$ e quindi:

$-pi/2[1-cos (1/n)]<[1-cos(1/n)]arctan (b_n)<+pi/2[1-cos(1/n)]$.

[55sarah]

"Palliit":Ciao. Magari sbaglio, ma mi verrebbe da dire che: $-pi/2<\arctan (b_n)<+pi/2$ e quindi:

$-pi/2[1-cos (1/n)]<[1-cos(1/n)]arctan (b_n)<+pi/2[1-cos(1/n)]$.

ah ok lo fai cn il teorema dei carabinieri

perchè da questa disuguaglianza che hai fatto tu

$-pi/2[1-cos (1/n)]<[1-cos(1/n)]arctan (b_n)<+pi/2[1-cos(1/n)]$

il $\lim_n -pi/2[1-cos (1/n)]=\lim_n -\pi/2((1)/(2n^2))=\lim_n -(\pi)/(4n^2)=0$

lo è anche quell'altro $\lim_n pi/2[1-cos(1/n)]=\lim_n (pi)/(4n^2)=0$


È sbagliato dire che il limite globale non esiste.. quindi per quel teorema dei 2 carabinieri, il limite è zero.
Esatto?

grazie comunque

[Palliit]

Prego!