Limite di successione di integrali

[NightKnight1]

[size=150]Fissato $alpha > 1$, si determini, se esiste,
$lim_(n->+oo) int_(1/n)^n (|sin x|^n)/(x^alpha) dx$.[/size]

[fu^2]

se non ho sbagliato i conti che furbescamente ho cancellato per sbaglio, l'integrale esiste (considera l'integrale spezzato in $int_(1/n)^1F_ndx+int_1^nF_ndx$ con $F_n=|sinx|^n/x^alpha$.

per il limite su due piedi non mi viene in mente nulla di bello per calcolarlo... potresti applicare il th della media, ma nn credo ti porti a semplificare il problema...

[fabry1985mi]

Volevo provare a dare una mia soluzione:

Il calcolo del limite si potrebbe fare utilizzando il teorema di convergenza dominata; infatti ponendo $f_n(x)=|sinx|^n/x^alpha$ si ha:

$f_n(x)<=x^n/x^alpha=x^(n-alpha)<=1$ definitivamente se $x in (0,1)$ e $f_n(x)->0$ q.o. per $n->+oo$

inoltre:

$f_n(x)<=1/x^alpha$ se $x in [1,+oo)$

dunque:

$f_n(x)<=g(x):={(1 x in (0,1)),(1/x^alpha x in [1,+oo)):}$

Ma $g(x) in L^1((0,+oo))$ perché:

(i) $g(x)$ è continua in ogni intervallo del tipo $(0,M]$ con $M>0$

(ii) per $x->+oo$ la funzione $g(x)$ è integrabile in senso improprio perché $alpha>1$ per ipotesi dell'esercizio

Quindi in definitiva posso scambiare il segno di integrale con quello di limite:

$lim_(n->+oo) int_(1/n)^n (|sin x|^n)/(x^alpha) dx=lim_(n->+oo) int_(0)^(+oo) (|sin x|^n)/(x^alpha)chi_([1/n,n])(x) dx =int_(0)^(+oo) lim_(n->+oo)(|sin x|^n)/(x^alpha)chi_([1/n,n])(x) dx=int_(0)^(+oo)0dx=0$