Limite di successione di funzioni
sia data la successione di funzioni definita da
$f_n=\{(k^(-1/n) \Leftrightarrow k>=n),(0 \Leftrightarrow k
Il suo limite è la funzione nulla?Ovvero converge puntualmente alla funzione nulla?
Come lo si può formalizzare?
$f_n=\{(k^(-1/n) \Leftrightarrow k>=n),(0 \Leftrightarrow k
Il suo limite è la funzione nulla?Ovvero converge puntualmente alla funzione nulla?
Come lo si può formalizzare?
Risposte
puntualmente...
Vediamo, potestri fissare un $k=k_0$, allora devi computare $f_n(k_0)$. Infati il gioco della convergenza puntuale è quello di trovare per ogni $epsilon$, per ogni $ k_0$ un $n\inNN$ tc bla bla..
Definitivamente avrai che $k_0
Una cosa : secondo te cosa cambia se definisco $f_n={(k^n<=>k>=n),(0<=>k
Vediamo, potestri fissare un $k=k_0$, allora devi computare $f_n(k_0)$. Infati il gioco della convergenza puntuale è quello di trovare per ogni $epsilon$, per ogni $ k_0$ un $n\inNN$ tc bla bla..
Definitivamente avrai che $k_0
Una cosa : secondo te cosa cambia se definisco $f_n={(k^n<=>k>=n),(0<=>k
Si può vedere anche insiemisticamente.
Il supporto di $f_n$* è $[n,+oo[$; si ha $\bigcap_(n=1)^(+oo) [n,+oo[=\emptyset$ (con l'intersezione fatta su una famiglia decrescente) quindi il limite puntuale $f$ non può avere che supporto vuoto; l'unica funzione con supporto vuoto è la funzione nulla.
__________
* Si chiama supporto di una funzione $f:RR\to RR$ l'insieme $"supp " f:=\bar(\{ x\in RR:\quad f(x)!=0\})$, ossia la chiusura dell'insieme ove $f$ è non nulla.
Ad esempio, se:
$f(x):=\{(x, ", se " x< -1),(0, ", se " -1<=x<=1),(x-1, ", se " x>=1):}$
si ha $\{x\in RR:\quad f(x)!=0\} =]-oo,-1[\cup ]1,+oo[$ e $"supp " f=]-oo,-1]\cup [1,+oo[$.
Il supporto di $f_n$* è $[n,+oo[$; si ha $\bigcap_(n=1)^(+oo) [n,+oo[=\emptyset$ (con l'intersezione fatta su una famiglia decrescente) quindi il limite puntuale $f$ non può avere che supporto vuoto; l'unica funzione con supporto vuoto è la funzione nulla.
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* Si chiama supporto di una funzione $f:RR\to RR$ l'insieme $"supp " f:=\bar(\{ x\in RR:\quad f(x)!=0\})$, ossia la chiusura dell'insieme ove $f$ è non nulla.
Ad esempio, se:
$f(x):=\{(x, ", se " x< -1),(0, ", se " -1<=x<=1),(x-1, ", se " x>=1):}$
si ha $\{x\in RR:\quad f(x)!=0\} =]-oo,-1[\cup ]1,+oo[$ e $"supp " f=]-oo,-1]\cup [1,+oo[$.
Citando Gugo82...
la definizione di supporto dunque non è lontana dalla definizione di dominio giusto?
per fu^2...
la successione di funzioni cambia e anche di parecchio (specie ai fini dell'esercizio in cui è inserita)
ma il limite resta lo stesso purchè (come approvato) è la funzione nullla.
ma non c'è nulla di strano nell'avere due successioni diverse con lo stesso limite...
la definizione di supporto dunque non è lontana dalla definizione di dominio giusto?
per fu^2...
la successione di funzioni cambia e anche di parecchio (specie ai fini dell'esercizio in cui è inserita)
ma il limite resta lo stesso purchè (come approvato) è la funzione nullla.
ma non c'è nulla di strano nell'avere due successioni diverse con lo stesso limite...
no, era per far vedere che successioni così il primo pezzo puoi metterci quasi quello che vuoi... per sottolineare il fatto che serve sempre vedere in modo definitivo le cose... era giusto una considerazione neanche troppo profonda, ma tant'è...
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