Limite di successione definita per ricorrenza

[sssebi]

Ciao a tutti,
Ho un dubbio su un esercizio:
Calcolare il limite della seguente successione definita per ricorrenza:
$ ( ( a_(1)= 2 ),( a_(n+1) = a^2_(n) + a_(n) − 1.) ) $

Se ho capito bene, devo capire il comportamento della successione al crescere di n... io ho provato a calcolarla per a2 e mi viene uguale a 5...a3 = 29 e a4 = 869 ... quindi deduco che al crescere di n la successione diverge positivamente.

È esatto? oppure l'esercizio mi chiede altro?

grazie in anticipo!

[Gi81]

$ { ( a_(1)= 2 ),( a_(n+1) = a_n ^2 + a_(n) − 1):} $
Sì, la successione diverge positivamente, ma lo devi dimostrare in modo un po' piì rigoroso.
Non basta dire che, siccome $a_2= 5$, $a_3=29$, $a_4=869$, allora c'è divergenza a $+oo$. Non ti pare?

[sssebi]

Per n che tende ad infinito, a^2_(n) tende a più infinito, a_(n) tende pure a più infinito, quindi tutto tende a più infinito...
Esatto?

[Gi81]

Non puoi usare come ipotesi che $a_n$ tende a $+oo$. E' proprio quello che devi dimostrare.
Si può fare in tanti modi. Il primo che mi viene in mente è il seguente:
puoi dimostrare (ad esempio per induzione) che $a_n >= n+1$ $AA n in NN$. Fatto questo hai finito

[sssebi]

Perfetto, grazie mille sono riusciuto a dimostrarlo per induzione