Limite di successione con seno e coseno

[giorgiapandolfi]

Salve a tutti. Volevo chiedere aiuto per la risoluzione di un esericizio riguardante i limiti di successioni coinvolgenti le funzioni trigonometriche.

I)
Questo è l'esercizio che mi ha fatto venire dei dubbi:
Calcolare per n -> infinito il limite della successione:
$ ( 1- cos(3/n) )/ (sen(3/n^2)) $

Ecco come ho svolto i passaggi:
$( 1- cos(3/n) )/ (sen(3/n^2)) =
(n^2(1-cos(3/n)))/ (n^2(sen(3/n^2))) =
(n^2((1-cos^2(3/n))/(1+cos(3/n))))/(n^2(sen(3/n^2))) =
(n^2((sen^2(3/n))/(1+cos(3/n))))/(n^2(sen(3/n^2))) =
((n^2sen^2(3/n))/(1+cos(3/n)))/ (n^2(sen(3/n^2))) $

Infine ho ragionato ponendo come limite di $ (n^2sen^2(3/n)) = 9 $
limite di $(1+cos(3/n)) = 2 $
limite di $n^2(sen(3/n^2)) = 3 $

$((9/2)/3) = 27 / 2$
Non coincide con la soluzione uguale a 3/2. Non capisco... sareste così gentili da aiutarmi? Grazie in anticipo

[Shanar]

$(1-cos x) ~ x^2 /2 $ per $x \rightarrow 0 $ e $sin x ~ x$ per $x \rightarrow 0 $
quindi puoi direttamente scriverlo come $\frac {[(3/n)^2]/2 }{(3/n^2)}$ che fa appunto $frac{3}{2}$

[giorgiapandolfi]

Scusami, ma proprio non capisco perché faccia 3/2.

[Shanar]

$ frac{9/(2n^2)}{3/n^2 } = frac{9}{2n^2} * frac{n^2}{3} = frac{3}{2} $