Limite di successione con funzione Gamma
Vorrei riuscire a risolvere questo limite di successione:
$ \lim_{n\to +infty}frac{\Gamma(frac{n+1}{2})}{\sqrt(n)*\Gamma(frac{n}{2})}=frac{1}{\sqrt(2)}$
Avevo intenzione di esaminare prima il caso $n$ pari e poi il caso $n$ dispari in modo da poter sostituire la $\Gamma$ con il suo reale valore, però non riesco ad uscirne fuori dai doppi fattoriali. Qualcuno sa come svolgere questo limite??
$ \lim_{n\to +infty}frac{\Gamma(frac{n+1}{2})}{\sqrt(n)*\Gamma(frac{n}{2})}=frac{1}{\sqrt(2)}$
Avevo intenzione di esaminare prima il caso $n$ pari e poi il caso $n$ dispari in modo da poter sostituire la $\Gamma$ con il suo reale valore, però non riesco ad uscirne fuori dai doppi fattoriali. Qualcuno sa come svolgere questo limite??
Risposte
[xdom="Raptorista"]
Il primo passo è solitamente di porre la domanda nella sezione corretta. Sposto da Analisi superiore.[/xdom]
"Pigreco2016":
Qualcuno sa come svolgere questo limite??
Il primo passo è solitamente di porre la domanda nella sezione corretta. Sposto da Analisi superiore.[/xdom]
Ciao Pigreco2016,
Proverei con la formula di Stirling:
$\Gamma(n + 1) = n\Gamma(n) = n! $ [tex]\sim[/tex] $ sqrt{2\pi n}(n/e)^n $ per $n \to +\infty $
Proverei con la formula di Stirling:
$\Gamma(n + 1) = n\Gamma(n) = n! $ [tex]\sim[/tex] $ sqrt{2\pi n}(n/e)^n $ per $n \to +\infty $
Ti ringrazioo perché con il tuo consiglio sono riuscito a provare quel limite nel caso in cui $n=2t$. Ora mi basta provarlo nel caso in cui $n=2t+1$ e ho concluso
Finalmente ho concluso e riporto la mia risoluzione.
$ \lim_{n\to +infty} frac{\Gamma(frac{n+1}{2})}{\sqrt(n)*\Gamma(frac{n}{2})} =$ ora distinguo due casi:
1) faccio una cambio di variabile e metto $n=2t$; il limite diventa
$ \lim_{t\to +infty} frac{\Gamma(t+1/2)}{\sqrt(2t)*\Gamma(t)}$; ora
$\Gamma(t)=(t-1)!$ e
$\Gamma(t+1/2)=frac{(2t-1)!!*\sqrt(\pi)}{2^t}$ quindi
$ \lim_{t\to +infty} frac{\Gamma(t+1/2)}{\sqrt(2t)*\Gamma(t)}=frac{(2t-1)!!*\sqrt(\pi)}{2^t*(t-1)!*\sqrt(2t)}=frac{t*(2t-1)!!*\sqrt(\pi)}{2^t*t!*\sqrt(2t)}$
Adesso uso l'approssimazione di Stirling per $t!$
$frac{t*(2t-1)!!*\sqrt(\pi)}{2^t*t!*\sqrt(2t)} \rightarrow frac{t*(2t-1)!!*\sqrt(\pi)}{2^t*(\sqrt(2\pit)*(t/e)^t)*\sqrt(2t)}=frac{(2t-1)!!}{2^{t+1} (t/e)^t}$
Ora ragiono su $(2t-1)!!$. Utilizzando le identità sui doppi fattoriali ho che
$(2t-1)!! = frac{(2t-1)!}{2^(t-1)(t-1)!}= frac{2t*(2t-1)!}{2t*2^(t-1)(t-1)!}=frac{(2t)!}{2^t*t!}$.
Utilizzando Stirling in al numeratore è al denominatore trovo che:
$(2t-1)!! = frac{(2t)!}{2^t*t!} \rightarrow \sqrt(2)*2^t*(t/e)^t$
Sostituisco e trovo che:
$frac{(2t-1)!!}{2^{t+1} (t/e)^t} \rightarrow frac{\sqrt(2)*2^t*(t/e)^t}{2^{t+1} (t/e)^t} =1/\sqrt(2) $
$ \lim_{n\to +infty} frac{\Gamma(frac{n+1}{2})}{\sqrt(n)*\Gamma(frac{n}{2})} =$ ora distinguo due casi:
1) faccio una cambio di variabile e metto $n=2t$; il limite diventa
$ \lim_{t\to +infty} frac{\Gamma(t+1/2)}{\sqrt(2t)*\Gamma(t)}$; ora
$\Gamma(t)=(t-1)!$ e
$\Gamma(t+1/2)=frac{(2t-1)!!*\sqrt(\pi)}{2^t}$ quindi
$ \lim_{t\to +infty} frac{\Gamma(t+1/2)}{\sqrt(2t)*\Gamma(t)}=frac{(2t-1)!!*\sqrt(\pi)}{2^t*(t-1)!*\sqrt(2t)}=frac{t*(2t-1)!!*\sqrt(\pi)}{2^t*t!*\sqrt(2t)}$
Adesso uso l'approssimazione di Stirling per $t!$
$frac{t*(2t-1)!!*\sqrt(\pi)}{2^t*t!*\sqrt(2t)} \rightarrow frac{t*(2t-1)!!*\sqrt(\pi)}{2^t*(\sqrt(2\pit)*(t/e)^t)*\sqrt(2t)}=frac{(2t-1)!!}{2^{t+1} (t/e)^t}$
Ora ragiono su $(2t-1)!!$. Utilizzando le identità sui doppi fattoriali ho che
$(2t-1)!! = frac{(2t-1)!}{2^(t-1)(t-1)!}= frac{2t*(2t-1)!}{2t*2^(t-1)(t-1)!}=frac{(2t)!}{2^t*t!}$.
Utilizzando Stirling in al numeratore è al denominatore trovo che:
$(2t-1)!! = frac{(2t)!}{2^t*t!} \rightarrow \sqrt(2)*2^t*(t/e)^t$
Sostituisco e trovo che:
$frac{(2t-1)!!}{2^{t+1} (t/e)^t} \rightarrow frac{\sqrt(2)*2^t*(t/e)^t}{2^{t+1} (t/e)^t} =1/\sqrt(2) $
2) Ora faccio un altro cambio di variabile e pongo $n=2t+1$ quindi
$\lim_{n\to +infty} frac {\Gamma(frac{n+1}{2})} {\sqrt(n)*\Gamma(n/2)} = \lim_{t\to +infty} frac {\Gamma(t+1)} {\sqrt(2t+1)*\Gamma(t+1/2)} = \lim_{t\to +infty} frac {2^t*t!} {\sqrt(2t+1)*(2t-1)!!\sqrt(\pi)} $
Ora applico Stirling a $t!$, sostituisco $(2t-1)!!$ con quello trovato prima e ottengo:
$\lim_{t\to +infty} frac {2^t*t!} {\sqrt(2t+1)*(2t-1)!!\sqrt(\pi)} \rightarrow frac{\sqrt(t)}{\sqrt(2t+1)} \rightarrow 1/\sqrt(2)$
$\lim_{n\to +infty} frac {\Gamma(frac{n+1}{2})} {\sqrt(n)*\Gamma(n/2)} = \lim_{t\to +infty} frac {\Gamma(t+1)} {\sqrt(2t+1)*\Gamma(t+1/2)} = \lim_{t\to +infty} frac {2^t*t!} {\sqrt(2t+1)*(2t-1)!!\sqrt(\pi)} $
Ora applico Stirling a $t!$, sostituisco $(2t-1)!!$ con quello trovato prima e ottengo:
$\lim_{t\to +infty} frac {2^t*t!} {\sqrt(2t+1)*(2t-1)!!\sqrt(\pi)} \rightarrow frac{\sqrt(t)}{\sqrt(2t+1)} \rightarrow 1/\sqrt(2)$
Grazie per avere postato lo svolgimento, potrebbe essere utile.
(Per inciso, io lo avrei pure lasciato in analisi superiore, qualunque cosa "analisi superiore" voglia dire. Questa distinzione non è molto netta).
(Per inciso, io lo avrei pure lasciato in analisi superiore, qualunque cosa "analisi superiore" voglia dire. Questa distinzione non è molto netta).
Se non ricordo male, vale:
\[
\lim_{x\to +\infty} \frac{\Gamma (x+\alpha )}{x^\alpha \Gamma (x)} = 1
\]
per ogni $alpha >0$... Mi pare che il risultato segua facilmente da questa relazione.
\[
\lim_{x\to +\infty} \frac{\Gamma (x+\alpha )}{x^\alpha \Gamma (x)} = 1
\]
per ogni $alpha >0$... Mi pare che il risultato segua facilmente da questa relazione.
Ho anche trovato una dimostrazione simile a quella che ho fatto io però c'è qualcosa che non mi convince. Io ho distinto i due casi per poter esplicitare bene i valori quella funzione Gamma dato che in un caso ha come argomento un naturale mentre nell'altro caso ha argomento un razionale. Ora invece mi trovo questa dimostrazione dove non si fa nessuna distinzione tra pari e dispari e applica direttamente $\Gamma(n/2)=(n/2-1)!$ e $\Gamma((n+1)/2)=((n+1)/2-1)!$ Ma è lecito fare questo?? Il risultato è uguale a quello che ho ottenuto io. Solo che qua non compaiono fattoriali doppi e si fatica molto meno.
Beh, è solo questione di notazioni... Evidentemente, il simbolo $!$ non ha alcun senso quando $n/2 -1$ non è naturale; l'unico senso che gli si può dare (e che gli si dà, alle volte) è $(n/2 -1)! := Gamma (n/2)$.
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