Limite di successione col teorema del confronto
Salve, inauguro la mia convivenza nel forum con un quesito su analisi, spero non sia banale. 
Ho avuto dei problemi personali e quindi sono un po' indietro rispetto i miei colleghi e non ho potuto frequentare molte lezioni, confido quindi nel vostro aiuto e nella vostra clemenza nel caso scrivessi stupidaggini, poichè probabilmente ho frainteso le parole del libro.
Nelle dispense date dal prof., egli dimostra li limite della successione $\a_n = root(n)(n!)$ attraverso un procedimento che mi è sembrato poco intuitivo. Ho cercato quindi di trovare la soluzione percorrendo un'altra via,ho svolto quindiin questo modo:
notando che $\root(n)(n!) <= n!$ allora $\lim_(n\to\infty) root(n)(n!) = lim_(n\to\infty) n!$ , sul libro ho infatti letto che se il limite tende ad infinito allora basta una sola funzione di confronto, correggetemi se sbaglio...
Ho calcolato quindi $\lim_(n\to\infty) n! = +infty$ usando il teorema del rapporto. Dunque, $\lim_(n\to\infty) root(n)(n!) = +infty$. Il risultato sembra darmi ragione e quindi ho pensato di aver trovato un'altra via da cui passare, andando però a risolvere un altro esercizio, questo metodo crolla, infatti:
$\lim_(n\to\infty) root(n)(3^n + 7^n) = 7$ andando a raccogliere $\7^n$. Ma se uso il teorema del confronto il risultato diverge,cioè, essendo $\root(n)(3^n + 7^n) <= 3^n + 7^n$ allora $\lim_(n\to\infty) root(n)(3^n + 7^n) = lim_(n\to\infty) 3^n + 7^n = +infty$ e da quì i miei dubbi. Qual'è la falla che non vedo?
Ringrazio anticipatamente per la pazienza.
Ho avuto dei problemi personali e quindi sono un po' indietro rispetto i miei colleghi e non ho potuto frequentare molte lezioni, confido quindi nel vostro aiuto e nella vostra clemenza nel caso scrivessi stupidaggini, poichè probabilmente ho frainteso le parole del libro.
Nelle dispense date dal prof., egli dimostra li limite della successione $\a_n = root(n)(n!)$ attraverso un procedimento che mi è sembrato poco intuitivo. Ho cercato quindi di trovare la soluzione percorrendo un'altra via,ho svolto quindiin questo modo:
notando che $\root(n)(n!) <= n!$ allora $\lim_(n\to\infty) root(n)(n!) = lim_(n\to\infty) n!$ , sul libro ho infatti letto che se il limite tende ad infinito allora basta una sola funzione di confronto, correggetemi se sbaglio...
Ho calcolato quindi $\lim_(n\to\infty) n! = +infty$ usando il teorema del rapporto. Dunque, $\lim_(n\to\infty) root(n)(n!) = +infty$. Il risultato sembra darmi ragione e quindi ho pensato di aver trovato un'altra via da cui passare, andando però a risolvere un altro esercizio, questo metodo crolla, infatti:
$\lim_(n\to\infty) root(n)(3^n + 7^n) = 7$ andando a raccogliere $\7^n$. Ma se uso il teorema del confronto il risultato diverge,cioè, essendo $\root(n)(3^n + 7^n) <= 3^n + 7^n$ allora $\lim_(n\to\infty) root(n)(3^n + 7^n) = lim_(n\to\infty) 3^n + 7^n = +infty$ e da quì i miei dubbi. Qual'è la falla che non vedo?
Ringrazio anticipatamente per la pazienza.
Risposte
l' inghippo sta nel fatto che quando scrivi
\begin{align*}
\lim_{n\to +\infty} \sqrt[n]{7^n+3^n}\le \lim_{n\to +\infty} 7^n+3^n\to +\infty
\end{align*}
non ti autorizza a dire che anche la funzione di sinistra ha limite $+\infty;$ il teorema vale se la funzione di destra ha limite finito; in realtà se ci pensi per la funzione di cui vuoi calcolare il limite, dai tuoi conti puoi solo dire che è minore di $+\infty$ e quindi potrebbe fare cio che vuole ...
\begin{align*}
\lim_{n\to +\infty} \sqrt[n]{7^n+3^n}\le \lim_{n\to +\infty} 7^n+3^n\to +\infty
\end{align*}
non ti autorizza a dire che anche la funzione di sinistra ha limite $+\infty;$ il teorema vale se la funzione di destra ha limite finito; in realtà se ci pensi per la funzione di cui vuoi calcolare il limite, dai tuoi conti puoi solo dire che è minore di $+\infty$ e quindi potrebbe fare cio che vuole ...
..poi per quanto riguarda il limite di partenza, basta ricordare, che $\ln n!\sim n\ln n -n$ quando $n\to+\infty$ e dunque:
\begin{align*} \lim_{n\to +\infty} \sqrt[n]{n!}=\lim_{n\to +\infty} e^{\frac{1}{n}\ln n!}\sim\lim_{n\to +\infty} e^{\frac{1}{n}(n\ln n-n)}= \lim_{n\to +\infty} e^{\ln n -1}= \lim_{n\to +\infty} n\cdot \frac{1}{e}=+\infty\end{align*}
\begin{align*} \lim_{n\to +\infty} \sqrt[n]{n!}=\lim_{n\to +\infty} e^{\frac{1}{n}\ln n!}\sim\lim_{n\to +\infty} e^{\frac{1}{n}(n\ln n-n)}= \lim_{n\to +\infty} e^{\ln n -1}= \lim_{n\to +\infty} n\cdot \frac{1}{e}=+\infty\end{align*}
Ah ok grazie mi hai dato spunto di riflessione e rivedendo il teorema sul libro ho capito che se una successione $\a_n$ è minorante di una seconda successione $\b_n$ e $lim(n\to\infty) a_n = +infty$ allora in questo caso anche la seconda successione diverge a $\+infty$ per $\n\to\infty$, correggimi se sbaglio. Dunque il primo limite è stato solo un caso, grazie!
Riguardo a quest'ultimo, inoltre, non ho capito perchè il $\ln n! sim nln(n) - n$.
Riguardo a quest'ultimo, inoltre, non ho capito perchè il $\ln n! sim nln(n) - n$.
Senza aprire un altro topic, propongo un altro esercizio:
$\lim_(n\to\infty) ((-1)^n * sin(n))/ sqrt(n)$ , il libro da come risoluzione l'utilizzo del teorema del confronto ponendo:
$\|((-1)^n * sin(n))/sqrt(n)| <= 1/sqrt(n)$ e così è chiaro che il limite sia infinitesimo.
Io non ho capito perchè in questa situazione sia lecito usare il teorema del confronto, non sembrandomi minorante la seconda successione rispetto la prima, mentre prima cascavo nel famoso inghippo.
$\lim_(n\to\infty) ((-1)^n * sin(n))/ sqrt(n)$ , il libro da come risoluzione l'utilizzo del teorema del confronto ponendo:
$\|((-1)^n * sin(n))/sqrt(n)| <= 1/sqrt(n)$ e così è chiaro che il limite sia infinitesimo.
Io non ho capito perchè in questa situazione sia lecito usare il teorema del confronto, non sembrandomi minorante la seconda successione rispetto la prima, mentre prima cascavo nel famoso inghippo.
ma si!
\begin{align*}
0<\left|\frac{(-1)^n \sin n}{\sqrt n}\right|=\frac{\left|(-1)^n \sin n\right|}{\left|\sqrt n\right|}=\frac{\left|(-1)^n \right|\left|\sin n\right|}{ \sqrt n }=\frac{ \left|\sin n\right|}{ \sqrt n }\le\frac{1}{ \sqrt n }\to 0
\end{align*}
\begin{align*}
0<\left|\frac{(-1)^n \sin n}{\sqrt n}\right|=\frac{\left|(-1)^n \sin n\right|}{\left|\sqrt n\right|}=\frac{\left|(-1)^n \right|\left|\sin n\right|}{ \sqrt n }=\frac{ \left|\sin n\right|}{ \sqrt n }\le\frac{1}{ \sqrt n }\to 0
\end{align*}
Ah ecco 
chiarissimo, grazie mile!
chiarissimo, grazie mile!
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