Limite di successione: chiarezza su alcuni passaggi
Salve a tutti, desideravo qualche delucidazione su questi passaggi del libro, riguardante il calcolo di un limite di successione, che non riesco a comprendere:
$ [n!-(n+1)!]/(n^2e^n) = (-n!n)/(n^2e^n) = -1/e[((n-1)!)/e^(n-1)] $
In particolare non mi è chiaro il passaggio dalla prima alla seconda espressione. Vi ringrazio anticipatamente per le vostre risposte.
$ [n!-(n+1)!]/(n^2e^n) = (-n!n)/(n^2e^n) = -1/e[((n-1)!)/e^(n-1)] $
In particolare non mi è chiaro il passaggio dalla prima alla seconda espressione. Vi ringrazio anticipatamente per le vostre risposte.
Risposte
Scrivi $(n+1)!$$=(n+1)n!$ ed ecco fatto 
"K.Lomax":
Scrivi $(n+1)!$$=(n+1)n!$ ed ecco fatto
Hai perfettamente ragione, non ci avevo pensato
. Sarebbe stato più chiaro, a mio parere, scrivere:$ (n! - (n+1)!)/(n^2e^n) = (n! - [(n+1)n!])/(n^2e^n) = (n![1 - (n+1)])/(n^2e^n) = (-n!n)/(n^2e^n) = (-n!)/n*1/e^n = -(n-1)!*1/e^n$
Il numero di passaggi è doppio rispetto a quelli del libro, ma in quella maniera mi sembra dato tutto troppo per scontato. Ad ogni modo grazie del suggerimento, quando avrò altri dubbi non esiterò ad interpellarvi
!
"nicostyle86":
Il numero di passaggi è doppio rispetto a quelli del libro, ma in quella maniera mi sembra dato tutto troppo per scontato.
Si, effettivamente, molte volte alcuni libri danno per scontato troppe cose.....ed un passaggio come questo non salta immediatamente all'occhio!
Salve a tutti nuovamente, oggi vi pongo dei quesiti che mi hanno lasciato un pò perplesso. Cominciamo dal primo:
$ (1-cos(a_{n}))/(a_{n}^2) = (1-cos(a_{n}))/(a_{n}^2) * (1+cos(a_{n}))/(1+cos(a_{n})) = (sin^2(a_{n}))/(a_{n}^2) *1/(1+cos(a_{n})) = (sin(a_{n})/(a_{n}))^2*1/(1+cos(a_{n})) -> 1/2 $
dove $a_{n}$ è una successione di numeri reali convergente a zero.
Il mio dubbio è il seguente: visto che il limite, per $n->+oo$, della suddetta successione è $1/2$ ipotizzo che la moltiplicazione svolta sia la seguente.
$(sin(a_{n})/(a_{n}))^2 = (sin(a_{n})/(a_{n}))*(sin(a_{n})/(a_{n}))=1*1->1$
mentre
$1/(1+cos(a_{n}))->1/2$
perchè $cos(0) = 1$ (visto che $a_{n}$ converge a zero) è di conseguenza $1/(1+1) = 1/2$
Infine banalmente: $1*1/2 = 1/2$. Vi chiedo quindi conferma di ciò.
Inoltre, proseguendo con gli esercizi, mi sono imbattuto in un limite (apparentemente notevole) che precedentemente non viene esplicitato nel libro (probabilmente perchè conseguenza di altri limiti notevoli):
$(1-cos(a_{n}))/(a_{n}^2)->1/2$ dove $a_{n}$ è una successione di numeri reali convergente a zero
oltre a chiedere conferma di questo vi chiedo se, a questo punto:
$(1-cos(a_{n}))/(a_{n})->1$ fermo restando le condizioni precedenti.
Ringrazio anticipatamente coloro i quali mi daranno risposta.
$ (1-cos(a_{n}))/(a_{n}^2) = (1-cos(a_{n}))/(a_{n}^2) * (1+cos(a_{n}))/(1+cos(a_{n})) = (sin^2(a_{n}))/(a_{n}^2) *1/(1+cos(a_{n})) = (sin(a_{n})/(a_{n}))^2*1/(1+cos(a_{n})) -> 1/2 $
dove $a_{n}$ è una successione di numeri reali convergente a zero.
Il mio dubbio è il seguente: visto che il limite, per $n->+oo$, della suddetta successione è $1/2$ ipotizzo che la moltiplicazione svolta sia la seguente.
$(sin(a_{n})/(a_{n}))^2 = (sin(a_{n})/(a_{n}))*(sin(a_{n})/(a_{n}))=1*1->1$
mentre
$1/(1+cos(a_{n}))->1/2$
perchè $cos(0) = 1$ (visto che $a_{n}$ converge a zero) è di conseguenza $1/(1+1) = 1/2$
Infine banalmente: $1*1/2 = 1/2$. Vi chiedo quindi conferma di ciò.
Inoltre, proseguendo con gli esercizi, mi sono imbattuto in un limite (apparentemente notevole) che precedentemente non viene esplicitato nel libro (probabilmente perchè conseguenza di altri limiti notevoli):
$(1-cos(a_{n}))/(a_{n}^2)->1/2$ dove $a_{n}$ è una successione di numeri reali convergente a zero
oltre a chiedere conferma di questo vi chiedo se, a questo punto:
$(1-cos(a_{n}))/(a_{n})->1$ fermo restando le condizioni precedenti.
Ringrazio anticipatamente coloro i quali mi daranno risposta
.
Ma scusa non è lo stesso limite per il quale hai mostrato la soluzione (corretta)?
Quanto all'ultimo senza quadrato sotto vale $0$, basta moltiplicare e dividere per $a_n$ e usare il limite notevole.
Quanto all'ultimo senza quadrato sotto vale $0$, basta moltiplicare e dividere per $a_n$ e usare il limite notevole.
"Luca.Lussardi":
Ma scusa non è lo stesso limite per il quale hai mostrato la soluzione (corretta)?
Perdonami, a quale ti riferisci?
Non hai fatto vedere all'inizio che $(1-cos(a_n))/(a_n^2)$ tende a $1/2$?
"Luca.Lussardi":
Non hai fatto vedere all'inizio che $(1-cos(a_n))/(a_n^2)$ tende a $1/2$?
No, all'inizio ho chiesto se $1/(1+cos(a_n)) -> 1/2$ e se la mia spiegazione di ciò fosse corretta.
Mentre dopo ho chiesto il motivo per il quale limite, per $n->+oo$, di $(1 - cos(a_n))/a_n^2 -> 1/2 $?
Lussardi ti sta semplicemente dicendo che se, come hai dimostrato,
$lim_(a_n->0)(1-cosa_n)/a_n^2=1/2$
allora
$lim_(a_n->0)(1-cosa_n)/a_n=(1-cosa_n)/a_n^2a_n=1/2*0=0$
E poi, effettivamente, hai chiesto di risolvere il primo limite quando poco prima ne avevi già dimostrato il risultato.
$lim_(a_n->0)(1-cosa_n)/a_n^2=1/2$
allora
$lim_(a_n->0)(1-cosa_n)/a_n=(1-cosa_n)/a_n^2a_n=1/2*0=0$
E poi, effettivamente, hai chiesto di risolvere il primo limite quando poco prima ne avevi già dimostrato il risultato.
Perdonate il ritardo, ma sono andato in vacanza e non mi è stato possibile seguire la discussione 
.
Riguardo al limite $lim_(a_n->0)(1-cos(a_n))/a_n^2=1/2$ ho scritto, poco prima, la frase: "ipotizzo che la moltiplicazione svolta sia la seguente".
Probabilmente dopo non sono stato abbastanza esplicito, ad ogni modo chiedevo conferma del risultato ($1/2$) e, indirettamente, della mia spiegazione: "[...] perchè $cos(0)=1$ (visto che $a_n->0$ converge a zero) è di conseguenza $ 1/(1+1)=1/2$. Infine banalmente: $1*1/2=1/2$. Vi chiedo quindi conferma di ciò."
A quanto pare però, sia risultato che procedimento vanno bene, quindi tutto risolto!
.Riguardo al limite $lim_(a_n->0)(1-cos(a_n))/a_n^2=1/2$ ho scritto, poco prima, la frase: "ipotizzo che la moltiplicazione svolta sia la seguente".
Probabilmente dopo non sono stato abbastanza esplicito, ad ogni modo chiedevo conferma del risultato ($1/2$) e, indirettamente, della mia spiegazione: "[...] perchè $cos(0)=1$ (visto che $a_n->0$ converge a zero) è di conseguenza $ 1/(1+1)=1/2$. Infine banalmente: $1*1/2=1/2$. Vi chiedo quindi conferma di ciò."
A quanto pare però, sia risultato che procedimento vanno bene, quindi tutto risolto
!
@sergio
credo che nell'ultima riga del tuo ultimo messaggio, dopo il primo segno di eguale, ci vada il limite di
$\frac{1^2-\cos^2(a_n)}{a_n(1+cos(a_n))}$ e non di $\frac{(1-\cos(a_n))^2}{a_n(1+cos(a_n))}$.
Poi, per la verita', non mi piace tanto la scrittura $\lim_{a_n\to 0}$ -- andrebbe messo $\lim_{n\to+\infty}$, avendo premesso che $a_n\to0$ (scusa la pignoleria
)
Ciao
credo che nell'ultima riga del tuo ultimo messaggio, dopo il primo segno di eguale, ci vada il limite di
$\frac{1^2-\cos^2(a_n)}{a_n(1+cos(a_n))}$ e non di $\frac{(1-\cos(a_n))^2}{a_n(1+cos(a_n))}$.
Poi, per la verita', non mi piace tanto la scrittura $\lim_{a_n\to 0}$ -- andrebbe messo $\lim_{n\to+\infty}$, avendo premesso che $a_n\to0$ (scusa la pignoleria
)Ciao
Ringraziando Sergio per l'esaustivo chiarimento, chiedo ulteriori ragguagli in merito ad altre successioni:
1. $ lim_(n->+oo) (sin^2(n+1)^3)/n $
In questo caso il libro suggerisce l'applicazione del Teorema del Confronto in questo modo:
$ 0<= (sin^2(n+1)^3)/n <= 1/n$
In tal modo, la prima è la terza successione convergono a zero, di conseguenza anche quella iniziale converge a zero.
Il Teorema in questione mi è abbastanza chiaro, ma la domanda che mi viene in mente è: come faccio a capire tra quali successioni è compresa quella di partenza così "ad occhio"? L'unica risposta che riesco a darmi riguarda l'esperienza in esercizi di questo tipo, ma mi pare un pò riduttiva non credete?
2. $ lim_(n->+oo) (1-1/2)*(1-1/3)*...*(1-1/n) $
Il passaggio che non mi è chiaro stavolta è il seguente:
$ 1/2*2/3*...*(n-1)/n = 1/n -> 0$
Vada bene per il primo membro dell'equazione, ma non comprendo il motivo per il quale $(n-1)/n = 1/n$, per $n->+oo$, considerato soprattutto che:
$ (n-1)/n = 1-1/n -> 1 $, per $n->+oo$, e non a zero.
Qualcuno potrebbe sciogliermi anche questo dubbio
?
1. $ lim_(n->+oo) (sin^2(n+1)^3)/n $
In questo caso il libro suggerisce l'applicazione del Teorema del Confronto in questo modo:
$ 0<= (sin^2(n+1)^3)/n <= 1/n$
In tal modo, la prima è la terza successione convergono a zero, di conseguenza anche quella iniziale converge a zero.
Il Teorema in questione mi è abbastanza chiaro, ma la domanda che mi viene in mente è: come faccio a capire tra quali successioni è compresa quella di partenza così "ad occhio"? L'unica risposta che riesco a darmi riguarda l'esperienza in esercizi di questo tipo, ma mi pare un pò riduttiva non credete?
2. $ lim_(n->+oo) (1-1/2)*(1-1/3)*...*(1-1/n) $
Il passaggio che non mi è chiaro stavolta è il seguente:
$ 1/2*2/3*...*(n-1)/n = 1/n -> 0$
Vada bene per il primo membro dell'equazione, ma non comprendo il motivo per il quale $(n-1)/n = 1/n$, per $n->+oo$, considerato soprattutto che:
$ (n-1)/n = 1-1/n -> 1 $, per $n->+oo$, e non a zero.
Qualcuno potrebbe sciogliermi anche questo dubbio
?
"Sergio":
Non so chi diceva che "derivare è bovino, integrare è divino". Direi che calcolare limiti sta in mezzo: non così difficile come integrare, ma nemmeno così facile come derivare.
Bella questa
. Ad ogni modo sono d'accordo !"Sergio":
Si impara a integrare solo con l'esperienza, e temo che anche per i limiti sia più o meno lo stesso.
Come in tanti altri campi d'altronde.
"Sergio":
Parti da:
$lim_(n to oo) [(1-1/2)*(1-1/3)*...*(1-1/n)]=lim_(n to oo)[1/2*2/3*3/4*4/5*...*(n-2)/(n-1)*(n-1)/n]$
Poi semplifichi ciascun denominatore col numeratore della frazione successiva e ti rimangono solo il primo numeratore e l'ultimo denominatore, cioè $1/n$.
Già, hai proprio ragione
!
Salve a tutti nuovamente ! Oggi devo provare che:
$lim_(x->5)(1-x^2)=-24$
Per verificare ciò, devo provare che in corrispondenza ad un numero $ \epsilon>0$, arbitrario e comunque piccolo, la seguente disequazione:
$|1-x^2+24|<\epsilon$
sia soddisfatta per tutti i valori della $x$ che formano un intorno completo del punto 5, escluso 5 stesso.
Ebbene arriviamo alla disequazione:
$ -\epsilon<25-x^2<\epsilon => 25-\epsilon sqrt(25-\epsilon)
La mia domanda a questo punto è la seguente: può l'intervallo $sqrt(25-\epsilon)
E' chiaro che posto, ad esempio, $\epsilon=1/1000$, siamo proprio all'interno di un intorno di 5, però negli altri esercizi da me visionati, quando per esempio l'obiettivo era trovare un intorno del numero $2$ (o di qualsiasi altro numero), veniva fuori un intervallo del tipo $2-(\epsilon/5)
Il limite infine è palesemente corretto visto che, peraltro, la funzione $f(x) = 1-x^2$ calcolata nel punto $x=5$, vale appunto $-24$ e perciò in questo caso risulta: $lim_(x->5)f(x)=f(5)$.
! Oggi devo provare che:$lim_(x->5)(1-x^2)=-24$
Per verificare ciò, devo provare che in corrispondenza ad un numero $ \epsilon>0$, arbitrario e comunque piccolo, la seguente disequazione:
$|1-x^2+24|<\epsilon$
sia soddisfatta per tutti i valori della $x$ che formano un intorno completo del punto 5, escluso 5 stesso.
Ebbene arriviamo alla disequazione:
$ -\epsilon<25-x^2<\epsilon => 25-\epsilon
La mia domanda a questo punto è la seguente: può l'intervallo $sqrt(25-\epsilon)
E' chiaro che posto, ad esempio, $\epsilon=1/1000$, siamo proprio all'interno di un intorno di 5, però negli altri esercizi da me visionati, quando per esempio l'obiettivo era trovare un intorno del numero $2$ (o di qualsiasi altro numero), veniva fuori un intervallo del tipo $2-(\epsilon/5)
Il limite infine è palesemente corretto visto che, peraltro, la funzione $f(x) = 1-x^2$ calcolata nel punto $x=5$, vale appunto $-24$ e perciò in questo caso risulta: $lim_(x->5)f(x)=f(5)$.
nicostyle86:
Ringraziando Sergio per l'esaustivo chiarimento, chiedo ulteriori ragguagli in merito ad altre successioni:
1. $ lim_(n->+oo) (sin^2(n+1)^3)/n $
In questo caso il libro suggerisce l'applicazione del Teorema del Confronto in questo modo:
$ 0<= (sin^2(n+1)^3)/n <= 1/n$
In tal modo, la prima è la terza successione convergono a zero, di conseguenza anche quella iniziale converge a zero.
Il Teorema in questione mi è abbastanza chiaro, ma la domanda che mi viene in mente è: come faccio a capire tra quali successioni è compresa quella di partenza così "ad occhio"? L'unica risposta che riesco a darmi riguarda l'esperienza in esercizi di questo tipo, ma mi pare un pò riduttiva non credete?
Infatti, è molto più importante capire il metodo. Il teorema del confronto che usa il libro è il teorema 'dei due carabinieri'. La maggiorazione è abbastanza naturale: la funzione seno è limitata, compresa tra meno uno e uno. E' elevata al quadrato, è limitata ancora di più, cioè puoi scrivere che $\sin^2(n+1)^3 <=1$
"Sergio":
La prima disequazione che scrivi credo dovrebbe essere $|1-x^2-(-24)|<\epsilon$.
Si, ho sbagliato a trascrivere al computer.
Per quanto riguarda la definizione di limite, non riesco a capire perchè, ma attualmente nei due libri che sto utilizzando viene posta diversamente.
La versione del primo è:
Diremo che $f(x)$ tende (o converge) ad $l$ per $x$ che tende ad $x_0$, e scriveremo:
$lim_(x->x_0)f(x)=l$,
se per ogni $\epsilon>0$, esiste un numero $\delta>0$ tale che $|f(x)-l|<\epsilon$, per ogni $x$$in$$X$, con $0<|x-x_0|<\delta$.
Tale versione mi sembra perfettamente in linea con quanto detto da Sergio.
La versione del secondo libro è invece:
Si dice che la funzione $f(x)$, per tendente a $c$, ha per limite il numero $l$, e si scrive:
$lim_(x->c)f(x)=l$,
quando in corrispondenza ad un arbitrario numero positivo $\epsilon$, si può sempre determinare un intorno completo $H$ del punto $c$, tale che, per ogni $x$ di $H$, escluso eventualmente $c$, risulti soddisfatta la disequazione:
$|f(x)-l|<\epsilon$.
cioè le disequazioni:
$l-\epsilon
Il modo in cui ho svolto l'esercizio segue pari passo questa definizione (visto che gli esercizi che sto svolgendo si trovano appunto in questo libro).
Credo di aver sufficientemente compreso e assimilato il concetto di limite, ma ad ogni modo non riesco a cogliere il perchè della differenza tra queste due definizioni di limite di una funzione $f(x)$.
Inoltre non mi sembrano per niente equivalenti le due definizioni. È come se alla seconda mancasse qualcosa di sostanziale e importante oltretutto.
Ho dato uno sguardo ad un ulteriore libro, e la definizione che viene utilizzata (nel caso di limite finito di una funzione $f(x)$, per $x->x_0$, con $x_0$ anch'esso numero reale finito) è la prima del mio precedente post.
Detto questo però, la frase: "quando in corrispondenza ad un arbitrario numero positivo $\epsilon$, si può sempre determinare un intorno completo $H$ del punto $c$, tale che, per ogni $x$ di $H$, escluso eventualmente $c$" a mio parere implica "per ogni $x in X$, con $0<|x-x_0|<\delta$".
Detto questo però, la frase: "quando in corrispondenza ad un arbitrario numero positivo $\epsilon$, si può sempre determinare un intorno completo $H$ del punto $c$, tale che, per ogni $x$ di $H$, escluso eventualmente $c$" a mio parere implica "per ogni $x in X$, con $0<|x-x_0|<\delta$".
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