Limite di successione bello arrogante (fratta con ln, fattoriale, sen, cos e exp)
Il testo è il seguente:
$\lim_{n\to+infty} \frac{n^n \ln(n)+(n!)^n \cos(n\pi)}{(-1)^{n+1}[(n-1)!]^n+(2n)!\sin(\frac{n\pi}{2})}$
Ok il mio tentativo di svolgimento è il seguente:
Considerando $(n!)^n=[n(n-1)!]^n=n^n[(n-1)!]^n$ riscrivo sostituendo e raccogliendo $n^n$
$\lim_{n\to +\infty} n^n \frac{ln(n)+[(n-1)!]^n\cos(n\pi)}{(-1)^{n+1}[(n-1)!]^n+(2n)!\sin(\frac{n\pi}{2})}$
poi ho provato a dividere per $[(n-1)!]^n$
$\lim_{n\to+\infty} n^n \frac{\frac{ln(n)}{[(n-1)!]^n}+\cos(n\pi)}{(-1)^{n+1}+\frac{(2n)!\sin(\frac{n\pi}{2})}{[(n-1)!]^n}}$
Ho pensato anche se $[(n-1)!]^n$ non fosse uguale a $\{[n(1-1/n)]!\}^n$ e quindi asintoticamente uguale a $(n!)^n$. Ma poi non riuscivo a vedere come poteva essere utile...
Da qui in poi ho cercato di fare una marea di considerazioni su come poter riscrivere i vari fattoriali, e tutti rapporti possibili raccogliendo qualcosa, in termini di e alla qualcosa o usando la formula di Stirling ottenendo sempre un pataccone ingestibile di funzioni. Se può servire le metto ma non mi hanno portato a niente di utile.
Se avete suggerimenti, felice di accettarli
$\lim_{n\to+infty} \frac{n^n \ln(n)+(n!)^n \cos(n\pi)}{(-1)^{n+1}[(n-1)!]^n+(2n)!\sin(\frac{n\pi}{2})}$
Ok il mio tentativo di svolgimento è il seguente:
Considerando $(n!)^n=[n(n-1)!]^n=n^n[(n-1)!]^n$ riscrivo sostituendo e raccogliendo $n^n$
$\lim_{n\to +\infty} n^n \frac{ln(n)+[(n-1)!]^n\cos(n\pi)}{(-1)^{n+1}[(n-1)!]^n+(2n)!\sin(\frac{n\pi}{2})}$
poi ho provato a dividere per $[(n-1)!]^n$
$\lim_{n\to+\infty} n^n \frac{\frac{ln(n)}{[(n-1)!]^n}+\cos(n\pi)}{(-1)^{n+1}+\frac{(2n)!\sin(\frac{n\pi}{2})}{[(n-1)!]^n}}$
Ho pensato anche se $[(n-1)!]^n$ non fosse uguale a $\{[n(1-1/n)]!\}^n$ e quindi asintoticamente uguale a $(n!)^n$. Ma poi non riuscivo a vedere come poteva essere utile...
Da qui in poi ho cercato di fare una marea di considerazioni su come poter riscrivere i vari fattoriali, e tutti rapporti possibili raccogliendo qualcosa, in termini di e alla qualcosa o usando la formula di Stirling ottenendo sempre un pataccone ingestibile di funzioni. Se può servire le metto ma non mi hanno portato a niente di utile.
Se avete suggerimenti, felice di accettarli
Risposte
Non ne sono sicuro, ma direi:
-il num è asintotico a $n^n*cos(n*pi)=(-1)^n*n^n$
-il den è asintotico a $(-1)^{n+1}*[(n-1)!]^n$
Ora basterebbe fare un paio di semplificazioni...
-il num è asintotico a $n^n*cos(n*pi)=(-1)^n*n^n$
-il den è asintotico a $(-1)^{n+1}*[(n-1)!]^n$
Ora basterebbe fare un paio di semplificazioni...
"kobeilprofeta":
Non ne sono sicuro, ma direi:
-il num è asintotico a $n^n*cos(n*pi)=(-1)^n*n^n$
-il den è asintotico a $(-1)^{n+1}*[(n-1)!]^n$
Ora basterebbe fare un paio di semplificazioni...
Ok ti ringrazio, ci ragiono un po' su
Bestia che roba 
$ \lim_{n\to+infty} \frac{n^n \ln(n)+(n!)^n \cos(n\pi)}{(-1)^{n+1}[(n-1)!]^n+(2n)!\sin(\frac{n\pi}{2})} $ =
Mi sa che mi sono persa via con un calcolo inutile e sicuramente pieno di errori, comunque...
Scrivo $cos(n\pi)$ come $(-1)^n$ e $(2n)!$ come $2^n n! (2n - 1)(2n - 3)(2n - 5)....$.
$ \lim_{n\to+infty} \frac{n^n \ln(n)+n^n((n-1)!)^n (-1)^n}{(-1)^(n)(-1)[(n-1)!]^n+2^n n! (2n - 1)(2n - 3)(2n - 5)....\sin(\frac{n\pi}{2})} $
Divido numeratore e denominatore per $[(n-1)!]^n$:
$ \lim_{n\to+infty} \frac{n^n \ln(n)/((n-1)!)^n +n^n(-1)^n}{(-1)^(n)(-1)+ 2^n n! (2n - 1)(2n - 3)(2n - 5)....\sin(\frac{n\pi}{2})/([(n-1)!]^n). $
Calcolo separatamente alcuni limiti che compaiono al numeratore e al denominatore:
$ lim_{n\to+infty} (n^n \ln(n))/((n-1)!)^n $
$ 0 <=(n^n \ln(n))/((n-1)!)^n = n^n/((n-2)!)^n logn/(n-1)^n <= (((n-3)!)^n)/((n-2)!)^n logn/(n-1)^n $
L'ultima quantità tende a zero, quindi per i carabinieri $ lim_{n\to+infty} (n^n \ln(n))/((n-1)!)^n = 0$
Calcolo di $ lim_{n\to+infty} 2^n n! (2n - 1)(2n - 3)(2n - 5)....\sin(\frac{n\pi}{2})/([(n-1)!]^n). $
Poiché $n! < n^$
$ 0<= (2^n n! (2n - 1)(2n - 3)(2n - 5)....\sin(\frac{n\pi}{2}))/([(n-1)!]^n)<= $
$ (2^n n^n (2n - 1)(2n - 3)(2n - 5)....\sin(\frac{n\pi}{2}))/([(n-1)!]^n) <=$
$ (2^n n^n (2n - 1)^n\sin(\frac{n\pi}{2}))/([(n-1)!]^n) <=$
$ ((2n(2n - 1))^n\sin(\frac{n\pi}{2}))/([(n-1)!]^n) <=$
$ ((n - 2)!)^n/((n-1)!)^n) sin(\frac{n\pi}{2})--> 0$
Sostituendo i valori dei limiti nel limite iniziale risulterebbe $ \lim_{n\to+infty} n^n = +oo$ (ma non credo proprio che il procedimento fatto vada bene, anche perché mi sembra troppo lungo).
$ \lim_{n\to+infty} \frac{n^n \ln(n)+(n!)^n \cos(n\pi)}{(-1)^{n+1}[(n-1)!]^n+(2n)!\sin(\frac{n\pi}{2})} $ =
Mi sa che mi sono persa via con un calcolo inutile e sicuramente pieno di errori, comunque...
Scrivo $cos(n\pi)$ come $(-1)^n$ e $(2n)!$ come $2^n n! (2n - 1)(2n - 3)(2n - 5)....$.
$ \lim_{n\to+infty} \frac{n^n \ln(n)+n^n((n-1)!)^n (-1)^n}{(-1)^(n)(-1)[(n-1)!]^n+2^n n! (2n - 1)(2n - 3)(2n - 5)....\sin(\frac{n\pi}{2})} $
Divido numeratore e denominatore per $[(n-1)!]^n$:
$ \lim_{n\to+infty} \frac{n^n \ln(n)/((n-1)!)^n +n^n(-1)^n}{(-1)^(n)(-1)+ 2^n n! (2n - 1)(2n - 3)(2n - 5)....\sin(\frac{n\pi}{2})/([(n-1)!]^n). $
Calcolo separatamente alcuni limiti che compaiono al numeratore e al denominatore:
$ lim_{n\to+infty} (n^n \ln(n))/((n-1)!)^n $
$ 0 <=(n^n \ln(n))/((n-1)!)^n = n^n/((n-2)!)^n logn/(n-1)^n <= (((n-3)!)^n)/((n-2)!)^n logn/(n-1)^n $
L'ultima quantità tende a zero, quindi per i carabinieri $ lim_{n\to+infty} (n^n \ln(n))/((n-1)!)^n = 0$
Calcolo di $ lim_{n\to+infty} 2^n n! (2n - 1)(2n - 3)(2n - 5)....\sin(\frac{n\pi}{2})/([(n-1)!]^n). $
Poiché $n! < n^$
$ 0<= (2^n n! (2n - 1)(2n - 3)(2n - 5)....\sin(\frac{n\pi}{2}))/([(n-1)!]^n)<= $
$ (2^n n^n (2n - 1)(2n - 3)(2n - 5)....\sin(\frac{n\pi}{2}))/([(n-1)!]^n) <=$
$ (2^n n^n (2n - 1)^n\sin(\frac{n\pi}{2}))/([(n-1)!]^n) <=$
$ ((2n(2n - 1))^n\sin(\frac{n\pi}{2}))/([(n-1)!]^n) <=$
$ ((n - 2)!)^n/((n-1)!)^n) sin(\frac{n\pi}{2})--> 0$
Sostituendo i valori dei limiti nel limite iniziale risulterebbe $ \lim_{n\to+infty} n^n = +oo$ (ma non credo proprio che il procedimento fatto vada bene, anche perché mi sembra troppo lungo).
A meno di un piccolo errore di trascrizione (l'infinito principale a numeratore è \((-1)^n (n!)^n\)) io proverei a seguire il suggerimento di kobe.
Grazie, non mi ero accorto ho sbagliato a scrivere.
ho sbagliato a scrivere.
Ottimo! Grazie mille!
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