Limite di successione
Domani ho l'esame di analisi e ho risolto tutti i limiti di successione delle dispense del professore, però c'è n'è uno sul quale avrei dei dubbi, allora naturalmente abbiamo [tex]n->\infty[/tex]:
[tex]\frac{\sqrt[n]{n^{4}+n^{3}}}{logn}+\frac{log(4n^{2}+1)}{log(8n^{3}+1)}=\frac{\sqrt[n]{n^{4}(1+o(1))}}{logn}+\frac{log(4n^{2}(1+o(1))}{log(8n^{3}(1+o(1))}=\frac{n^{4/n}(1+o(1))}{logn}+[/tex]
[tex]+\frac{2log(4n(1+o(1))}{3log(8n(1+o(1))}=\frac{2}{3}(1+o(1))[/tex]
Allora ho ragionato in questo modo: [tex]n^{4/n}(1+o(1))[/tex] dovrebbe essere una forma indeterminata, infatti avrei [tex]\infty^{0}[/tex] però considerando che tanto ho [tex]logn[/tex] al denominatore, il quale tende a [tex]\infty[/tex] alla fine dovrei avere [tex]\frac{n^{4/n}(1+o(1))}{logn}->0[/tex]. Mentre per l'altro addendo della somma considerando
il rapporto [tex]\frac{log(4n(1+o(1))}{log(8n(1+o(1))}=\frac{2}{3}(1+o(1))[/tex] il coefficiente di [tex]n[/tex]degli argomenti dei logaritmi per [tex]n->\infty[/tex] può essere trascurato e quindi posso semplificare i due logaritmi ottenendo quindi alla fine il risultato che ho scritto. Però devo aver sbagliato qualcosa perchè sul risultato del libro il limite dovrebbe tendere a [tex]-\frac{2}{3}[/tex] ovvero il risultato che ho ottenuto cambiato di segno.
[tex]\frac{\sqrt[n]{n^{4}+n^{3}}}{logn}+\frac{log(4n^{2}+1)}{log(8n^{3}+1)}=\frac{\sqrt[n]{n^{4}(1+o(1))}}{logn}+\frac{log(4n^{2}(1+o(1))}{log(8n^{3}(1+o(1))}=\frac{n^{4/n}(1+o(1))}{logn}+[/tex]
[tex]+\frac{2log(4n(1+o(1))}{3log(8n(1+o(1))}=\frac{2}{3}(1+o(1))[/tex]
Allora ho ragionato in questo modo: [tex]n^{4/n}(1+o(1))[/tex] dovrebbe essere una forma indeterminata, infatti avrei [tex]\infty^{0}[/tex] però considerando che tanto ho [tex]logn[/tex] al denominatore, il quale tende a [tex]\infty[/tex] alla fine dovrei avere [tex]\frac{n^{4/n}(1+o(1))}{logn}->0[/tex]. Mentre per l'altro addendo della somma considerando
il rapporto [tex]\frac{log(4n(1+o(1))}{log(8n(1+o(1))}=\frac{2}{3}(1+o(1))[/tex] il coefficiente di [tex]n[/tex]degli argomenti dei logaritmi per [tex]n->\infty[/tex] può essere trascurato e quindi posso semplificare i due logaritmi ottenendo quindi alla fine il risultato che ho scritto. Però devo aver sbagliato qualcosa perchè sul risultato del libro il limite dovrebbe tendere a [tex]-\frac{2}{3}[/tex] ovvero il risultato che ho ottenuto cambiato di segno.
Risposte
il risultato corretto è $2/3$ d'altra parte il termine generale della successione è sempre positivo per $n>1$ quindi il limite non può essere un numero minore di 0
Ok evidentemente allora è un errore di stampa
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