Limite di successione

[francescag1]

Ciao, in questi giorni ho provato a risolvere qualche limite ma mi sono imbattuta nel seguente:
$ lim_{n rightarrow +infty} (n^3 arctg[1- (frac{2^n +n+1}{2^n+1})^{sqrt{n+cos n}}])$
L'argomento dell'arcotangente tende a 0 come è facile vedere, infatti:
$ (frac{2^n +n+1}{2^n+1})^{sqrt{n+cos n}}=(1+frac{n }{2^n+1})^{sqrt{n+cos n}}=(1+frac{1}{frac{2^n+1}{n }})^{frac{2^n+1}{n }cdot frac{n}{2^n+1}sqrt{n+cos n}} $
il quale tende a 1.
Quindi siamo in presenza di una forma indeterminata $0 cdot infty$.
Dopo aver verificato questo ho cercato di calcolare il valore del limite notando che l'esponente aveva lo stesso comportamento di $sqrt n$ e che il numeratore e il denominatore della frazione avevano lo stesso comportamento di $2^n$.. ma non riesco ancora a vedere la strada per risolverlo... qualcuno mi saprebbe dare qualche suggerimento?
Grazie

[ciampax]

Usa i confronti locali nel modo seguente

$({2^n+n+1}/{2^n+1})^{\sqrt{n+\cos n}}=e^{\sqrt{n+\cos n}}\cdot\log(1+n/{2^n+1})}\sim e^{\sqrt{n}\cdot n/{2^n+1}}\sim e^{n\sqrt{n}/{2^n}}$

poiché $\lim_{n\to+\infty}\frac{n\sqrt{n}}{2^n}=0$ si ha pure

$\arctan(1-({2^n+n+1}/{2^n+1})^{\sqrt{n+\cos n}})\sim\arctan(1-e^{n\sqrt{n}/{2^n}})\sim\arctan(-\frac{n\sqrt{n}}{2^n})\sim -\frac{n\sqrt{n}}{2^n}$

e quindi il tuo limite è

$\lim_{n\to+\infty} n^3\cdot(-\frac{n\sqrt{n}}{2^n})=0$

[francescag1]

Non avevo pensato al logaritmo!!
Grazie!