Limite di successione

[bartel]

Calcolare $ lim_(n -> oo ) (log(n!+1)-nlog(n/3))/log(n) $
Ho pensato di eliminare il fattoriale usando la formula di stirling ma poi non so come andare avanti...
Un consiglio ??

[Seneca1]

$ln( n! + 1 ) sim ln( n! ) sim ln[ sqrt(2 pi n ) (n/e)^n ] = ln( sqrt(2 pi n ) ) + n ln(n/e)$

Dove ti blocchi?

[bartel]

Quindi ho $(lnsqrt(2pin) +nln(n/e) -nln(n/3))/ln(n)$ che è circa uguale a $lnsqrt(2pin) /ln(n)$.
Ora usando de l'hopital verrebbe $n/ sqrt(2pin )$ e quindi infinito , ma non penso si possa usare de l'hopital per le successioni....

[Seneca1]

"Luca91":Quindi ho $(lnsqrt(2pin) +nln(n/e) -nln(n/3))/ln(n)$ che è circa uguale a $lnsqrt(2pin) /ln(n)$.
Ora usando de l'hopital verrebbe $n/ sqrt(2pin )$ e quindi infinito , ma non penso si possa usare de l'hopital per le successioni....

La seconda parte del numeratore è : $n ( ln(n/e) - ln(n/3) ) = n ln ( n/e * 3/n ) = n ln( 3/e ) = n * ( ln ( 3 ) - 1 )$

$lim_n (1/2 * ln(2 pi ) + 1/2 ln( n ) + n * ( ln ( 3 ) - 1 ))/(ln(n)) = lim_n 1/2 * ( ln(2 pi ))/(ln(n)) + 1/2 ( ln( n ) )/(ln(n)) + n * ( ln ( 3 ) - 1 )/(ln(n))$

Da qui la conclusione è banale (ho rifatto il conto perché non mi sembravano adeguatamente giustificati i passaggi in cui ti sei imbarcato).

[bartel]

Ok quindi vedo che tende a infinito in quanto $ (n(ln(3)-1))/ln(n) $ ha il numeratore che va a infinito più velocemente del denominatore.
Grazie mille