Limite di successione
Salve ragazzi...devo risolvere questo limite:
$ lim_(n -> oo) [ln(1+n+n^(3))-3 ln(n)]/[n(1-cos(1/n^(2))]$
Ho riscritto la successione in questo modo: $[ln(1/n^(3)+1/n^(2)+1)]/[n(1-cos(1/n^(2))]$
Poi ho pensato di sostituire $1/n=t$ per $t->0$ e facendo diventare la funzione l'esponente di $e$ in modo che il logaritmo se ne va. Quindi ho:
$ lim_(t ->0) [(t^(3)+t^(2)+1)^(t)]/e^(1-cos(t^(2))]
Solo che così la successione tende a 1 ($1^(0)/e^(0)$) invece che $+ oo$. Come mai?Dov'è che sbaglio?Grazie per l'aiuto....
$ lim_(n -> oo) [ln(1+n+n^(3))-3 ln(n)]/[n(1-cos(1/n^(2))]$
Ho riscritto la successione in questo modo: $[ln(1/n^(3)+1/n^(2)+1)]/[n(1-cos(1/n^(2))]$
Poi ho pensato di sostituire $1/n=t$ per $t->0$ e facendo diventare la funzione l'esponente di $e$ in modo che il logaritmo se ne va. Quindi ho:
$ lim_(t ->0) [(t^(3)+t^(2)+1)^(t)]/e^(1-cos(t^(2))]
Solo che così la successione tende a 1 ($1^(0)/e^(0)$) invece che $+ oo$. Come mai?Dov'è che sbaglio?Grazie per l'aiuto....
Risposte
Intanto nota che $e^{a/b} \ne (e^a)/(e^b)$, cosa che mi sembra invece tu abbia fatto.
Oltre a questo, il procedimento che a volte si usa è quello di fare
$e^{\log L} (= L)$
dove $L$ era il tuo limite. Non puoi semplicemente fare $e^L$, perché chiaramente il risultato cambia.
Paola
Oltre a questo, il procedimento che a volte si usa è quello di fare
$e^{\log L} (= L)$
dove $L$ era il tuo limite. Non puoi semplicemente fare $e^L$, perché chiaramente il risultato cambia.
Paola
Hai ragione...!!!Allora cosa potrei fare?
Stavo pensando:
$lim_(t --> 0) [t*ln(1+t^(2)+t^(3))]/[1-cost^(2)$ = $lim_(t-->0) t^(2)/sin(t^(2))*(1+cost^(2))*ln(1+t^(2)+t^(3))/t
Solo che in questo modo il primo pezzo tende a 1, il secondo a 2 e il terzo a 0 e quindi tutto il limite tende a 0 e non ridà $+oo$
Stavo pensando:
$lim_(t --> 0) [t*ln(1+t^(2)+t^(3))]/[1-cost^(2)$ = $lim_(t-->0) t^(2)/sin(t^(2))*(1+cost^(2))*ln(1+t^(2)+t^(3))/t
Solo che in questo modo il primo pezzo tende a 1, il secondo a 2 e il terzo a 0 e quindi tutto il limite tende a 0 e non ridà $+oo$
$t = 1/n$
$lim_(t -> 0^+) t * (ln(1 + t^2 + t^3))/(1-cos(t^2))$
A questo punto è evidente il risultato...
$ln(1 + t^2 + t^3) sim t^2 + t^3 sim t^2$ per $t -> 0$
$1-cos(t^2) sim t^4/2$ per $t-> 0$
$lim_(t -> 0^+) t * (ln(1 + t^2 + t^3))/(1-cos(t^2))$
A questo punto è evidente il risultato...
$ln(1 + t^2 + t^3) sim t^2 + t^3 sim t^2$ per $t -> 0$
$1-cos(t^2) sim t^4/2$ per $t-> 0$
allora io mi trovo:
$lim_(t -> 0) tln(t^3+t^2+1)/(1-cos(t^2))$
$lim_(t -> 0) ln(t^3+t^2+1)^t/(1-cos(t^2))$
$e^(ln(lim_(t -> 0) (ln(t^3+t^2+1)^t)/(1-cos(t^2))))$
$e^(ln(1)/0)=e^(infty)=infty$
Ricontrolla i calcoli perchè potrei aver sbagliato!
$lim_(t -> 0) tln(t^3+t^2+1)/(1-cos(t^2))$
$lim_(t -> 0) ln(t^3+t^2+1)^t/(1-cos(t^2))$
$e^(ln(lim_(t -> 0) (ln(t^3+t^2+1)^t)/(1-cos(t^2))))$
$e^(ln(1)/0)=e^(infty)=infty$
Ricontrolla i calcoli perchè potrei aver sbagliato!
"paolotesla91":
Ricontrolla i calcoli perchè potrei aver sbagliato!
L'ultimo passaggio è incomprensibile.
ho apportato la modifica! 
EDIT: non capisco perchè non si vedono le formule però! XD :S
EDIT: non capisco perchè non si vedono le formule però! XD :S
"paolotesla91":
ho apportato la modifica!
Mi è matematicamente incomprensibile.
$e^(ln(1)/0) = oo$ ???
ahahah scusa seneca forse è meglio se spiego a parole: in pratica se si fa come ha consigliato Paola cioè $e^(ln(L))$ viene ke il logaritmo sopra è + lento mentre sotto la frazione viene tutto uguale a 0 quindi viene la forma $e^(ln(1)/0)=e^(infty)=infty$.
Comprensibile?
Comprensibile?
Seneca sta dicendo che questa uguaglianza
[tex]e^{\log(1)/0} = \infty[/tex]
non ha alcun significato perché non hanno significato le operazioni ed i simboli in essa presenti. Tu dividi persino zero per zero.
Io proverei così
[tex]\displaystyle \frac{\log(1+n+n^3)-\log(n^3)}{n(1-\cos(1/n^2)}= \log \left ( \frac{n^3+n+1}{n^3}\right )\cdot \frac {n^3\cdot (1/n^4)}{1-\cos(1/n^2)}[/tex]
Prima di proseguire vorrei farvi notare che ho messo in evidenza il limite notevole
[tex]\displaystyle \frac{1/n^4}{1-\cos(1/n^2)} \to 2[/tex]
Adesso è piuttosto semplice: studio questa roba
[tex]\displaystyle \log \left ( \frac{n^3+n+1}{n^3} \right) ^{n^3} = \log \left (1+\frac{n+1}{n^3}\right )^{{\frac{n^3}{n+1}\cdot \frac{n+1}{n^3}\cdot n^3 }} = \\ \frac{n^4+n^3}{n^3}\log \left (1+\frac{n+1}{n^3} \right )^{\frac{n^3}{n+1}} \to +\infty[/tex]
essendo che il termine [tex]\frac{n^4+n^3}{n^3} \to +\infty[/tex] mentre il logaritmo tende ad [tex]1[/tex].
Rimettendo tutto insieme, si trova che l'intera successione tende a [tex]+\infty[/tex], poiché l'altro termine è finito.
[tex]e^{\log(1)/0} = \infty[/tex]
non ha alcun significato perché non hanno significato le operazioni ed i simboli in essa presenti. Tu dividi persino zero per zero.
Io proverei così
[tex]\displaystyle \frac{\log(1+n+n^3)-\log(n^3)}{n(1-\cos(1/n^2)}= \log \left ( \frac{n^3+n+1}{n^3}\right )\cdot \frac {n^3\cdot (1/n^4)}{1-\cos(1/n^2)}[/tex]
Prima di proseguire vorrei farvi notare che ho messo in evidenza il limite notevole
[tex]\displaystyle \frac{1/n^4}{1-\cos(1/n^2)} \to 2[/tex]
Adesso è piuttosto semplice: studio questa roba
[tex]\displaystyle \log \left ( \frac{n^3+n+1}{n^3} \right) ^{n^3} = \log \left (1+\frac{n+1}{n^3}\right )^{{\frac{n^3}{n+1}\cdot \frac{n+1}{n^3}\cdot n^3 }} = \\ \frac{n^4+n^3}{n^3}\log \left (1+\frac{n+1}{n^3} \right )^{\frac{n^3}{n+1}} \to +\infty[/tex]
essendo che il termine [tex]\frac{n^4+n^3}{n^3} \to +\infty[/tex] mentre il logaritmo tende ad [tex]1[/tex].
Rimettendo tutto insieme, si trova che l'intera successione tende a [tex]+\infty[/tex], poiché l'altro termine è finito.
mah! il mio prof al liceo giustificava questa situazione dicendo che il logaritmo è una funzione che tende a 0 + lentamente rispetto ad un altra funzione, quale in questo caso la funzione coseno! perciò io ho scritto in quel modo intendendo che al numeratore c'è comunque un numero mentre sotto 0! so che $ln(1)=0$ dovrei essere proprio asino nel non saperlo ma per il fatto che va lentamente a 0 questo mi porta a pensare che al numeratore ci sia un numero e che la frazione sia del tipo $k/0$ e quindi $infty$! se il ragionamento è sbagliato vi prego di illuminarim e chiarirmi le idee perchè me lo porto dal liceo!
Grazie a tutti....allora ho capito il ragionamento di @Seneca, solo che non posso risolvere questo limite con taylor...il metodo di Richard_Dedekind è perfetto...@paolotesla91 $ln(1)=0$ non è una funzione....è un punto...quindi non puoi dire che va più o meno lentamente a zero.....cmq grazie ancora a tutti...!sono stata 2 giorni interi a cercare di risolvere questo limite...!!
!sono stata 2 giorni interi a cercare di risolvere questo limite...!!
@Paolo: Non ci siamo affatto. Quando scrivi non si capisce niente, ma questo è un bene perché esprimi concetti profondamente sbagliati. La matematica non si studia così. Non devi MAI accettare nulla come atto di fede, invece devi sempre riflettere accuratamente su ogni cosa.
Tu devi capire bene la nozione di limite, perché non la hai chiara assolutamente, e tutti i derivati: ordini di infinito e infinitesimo in primis. Tanto per dirne una, con il tuo ragionamento uno concluderebbe che
$lim_{x \to 1^+} (log(x))/(x-1)=+infty$,
grossa cavolata.
Fai tabula rasa del liceo perché è evidente che lo hai fatto male. E non scrivere usando le abbreviazioni da SMS, che rendono ancora meno comprensibili i tuoi scritti.
Tu devi capire bene la nozione di limite, perché non la hai chiara assolutamente, e tutti i derivati: ordini di infinito e infinitesimo in primis. Tanto per dirne una, con il tuo ragionamento uno concluderebbe che
$lim_{x \to 1^+} (log(x))/(x-1)=+infty$,
grossa cavolata.
Fai tabula rasa del liceo perché è evidente che lo hai fatto male. E non scrivere usando le abbreviazioni da SMS, che rendono ancora meno comprensibili i tuoi scritti.
@melli13: Noterai che io non ho usato Taylor, ma solo i limiti notevoli...
@Seneca Che limiti notevoli sono?a me pare tu abbia utilizzato gli sviluppi di Mac Laurin....non so, ma se mi sto sbagliando ti chiedo scusa...
$lim_(y -> 0) ln(1 +y) /y = 1$ , da cui $lim_(x -> 0) ln(1 + t^2 + t^3) /( t^2 + t^3)= 1$ cioè $ln(1 + t^2 + t^3) sim t^2 + t^3$ per $t -> 0$
Analogamente da $lim_(y -> 0) (1 - cos(y)) /y^2 = 1/2$ si ricava l'altra relazione asintotica.
Dopodiché basta osservare che $ t^2 + t^3 sim t^2$ , lo si verifica immediatamente. Ciò si esprime dicendo che si possono trascurare gli infinitesimi di ordine superiore.
Analogamente da $lim_(y -> 0) (1 - cos(y)) /y^2 = 1/2$ si ricava l'altra relazione asintotica.
Dopodiché basta osservare che $ t^2 + t^3 sim t^2$ , lo si verifica immediatamente. Ciò si esprime dicendo che si possono trascurare gli infinitesimi di ordine superiore.
Wow...forte...!non ci avevo mai pensato...grazieeeee!!!!
!non ci avevo mai pensato...grazieeeee!!!!
ok grazie mille per la chiarezza! seguirò il tuo ocnsigliò dissonance..cercherò di dare meno retta a ciò che ho fatto al liceo! -_-
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