Limite di Successione

[Newton_1372]

$\lim_n n[\root n {n^2+n+1}-\root n{n^2+1}$

Non riesco a togliere la forma indeterminata...ho provato così
$[\root n {(n^2+n+1)/(n^2+1)}-1]n\root n {n^2+1}]$

Da cui ho tratto (stranamente) quest'altra
$[\root n {1+(n)/(n^2+1)}-1]n\root n{n^2+1}$

Al che pensavo al limite notevole
$((1+x_n)^\alpha-1)/(x_n)=\alpha$ ma sfortunatamente l'esponente è a sua volta una funzione...

[j18eos]

Prova con lo scrivere: [tex]$\sqrt[n]{1+\frac{n}{n^2+1}}=e^{\frac{\log\big(1+\frac{n}{n^2+1}\big)}{n}}$[/tex] e [tex]$\sqrt[n]{n^2+1}=e^{\frac{\log\big(n^2+1\big)}{n}}$[/tex]!

[Newton_1372]

Non conviene...in quell'esponente compare una forma indeterminata infinito / infinito...e se provi a moltiplicare e dividere l'esponente per n^2+1 ottieni una forma indeterminata infinito x 0!

[_prime_number]

Sì ma quelle sai come trattarle... De L'Hopital.

Paola

[Newton_1372]

no perchè non è il capitolo sulle derivate... Cioè in teoria lo saprei fare, ma ci deve essere un modo analitico per farlo senza implicare le derivate!:) E possibilmente vorrei scoprirlo:)

[j18eos]

Nota che [tex]$\bigg(\sqrt[n]{1+\frac{n}{n^2+1}}-1\bigg)n=\bigg(e^{\frac{\log\big(1+\frac{n}{n^2+1}\big)}{n}}-1\bigg)n=\frac{e^{\frac{\log\big(1+\frac{n}{n^2+1}\big)}{n}}-1}{\frac{\log\big(1+\frac{n}{n^2+1}\big)}{n}}\cdot\frac{\log\big(1+\frac{n}{n^2+1}\big)}{n}\cdot n$[/tex] e ricordati il limite notevole [tex]$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$[/tex].