Limite di successione

[BHK1]

Non riesco a finire lo studio di una successione
se la definizione di limite di una successione è
$|a_n-l|0$

e ho $a_n=(3-14sqrt(n))/(7sqrt(n))$

divido per $sqrt(n)$
ottengo $a_n=(3/sqrt(n)-14)/(7)$ poi $n->+INF$ da cui $a_n=-2$

quindi ho $|(3-14sqrt(n))/(7sqrt(n))+2|
da qui in poi non riesco ad andare avanti.

[_luca.barletta]

"BHK":
ottengo $a_n=(3/sqrt(n)-14)/(7)$ poi $n->+INF$ da cui $a_n=-2$

forse volevi dire $l=-2$.

quindi ho $|(3-14sqrt(n))/(7sqrt(n))+2|
da qui in poi non riesco ad andare avanti.

Non riesci a gestire il modulo?

[BHK1]

si dal modulo dovrei ricavare un sistema, no?

[_luca.barletta]

E' più semplice se consideri che [tex]\frac{3-14\sqrt{n}}{7\sqrt{n}}=\frac{3}{7\sqrt{n}}-2[/tex]. A quel punto non hai più bisogno del modulo perché...

[BHK1]

quindi lo sostituisco dentro il modulo?

[_luca.barletta]

"BHK":quindi lo sostituisco dentro il modulo?

certo

[BHK1]

ok allora $|3/(7sqrt(n))|

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[BHK1]

finisce così?

[_luca.barletta]

Beh, no, bisogna continuare fino a dimostrare che per ogni $\epsilon>0$ esiste un $n\in NN$ tale che quella disuguaglianza è verificata.

[BHK1]

provo a spiegare meglio il mio problema,
riesco a trovare il limite della sucessione il problema è trovare un metodo universale per dimostrare
$|a_n-l|

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[Steven11]

Il modulo ora puoi anche toglierlo: la quantità [tex]$\frac{3}{7\sqrt{n}}$[/tex] è sempre positiva quindi il modulo restituisce l'argomento intatto.

Ora se fissi [tex]$\epsilon$[/tex], devi risolvere la disequazione
[tex]$\frac{3}{7\sqrt{n}}< \epsilon$[/tex]
rispetto ovviamente a [tex]$n$[/tex]. Ne sei in grado?
Ciao.

[BHK1]

in che senso fissare $epsilon$ non basta dire $epsilon>0$ piccolo a piacere?

[_luca.barletta]

In generale,

[tex]|a_n-l|<\epsilon[/tex]

significa che

[tex]l-\epsilon
e poi dipende da come è fatto [tex]a_n[/tex].

[BHK1]

no, non riesco a capire come fare,
per prima cosa cerco di togliere il modulo quando la quantità è sicuramente o positiva o negativa, poi ho

a sinistra del segno $<$ ho una quantità (pos o neg) e a destra $epsilon$.
per verificare la definizione, la disequazione deve comparire in una determinata forma ad esempio con n isolato al primo membro (es:$1/(sqrt(n))<(7epsilon)/3$)?

[_luca.barletta]

"BHK":
per verificare la definizione, la disequazione deve comparire in una determinata forma ad esempio con n isolato al primo membro (es:$1/(sqrt(n))<(7epsilon)/3$)?

adesso non ti rimane che risolvere la disequazione rispetto a [tex]n[/tex].

[BHK1]

"luca.barletta":[quote="BHK"]
per verificare la definizione, la disequazione deve comparire in una determinata forma ad esempio con n isolato al primo membro (es:$1/(sqrt(n))<(7epsilon)/3$)?

adesso non ti rimane che risolvere la disequazione rispetto a [tex]n[/tex].[/quote]

Tratto la $n$ come se fosse una normale incognita e la $epsilon$ come costante?

[_luca.barletta]

sì

[BHK1]

$n^(-1/2)<(7epsilon)/3$
$n^(-1/2)=(7epsilon)/3$

$(n^(-1/2))^-2=((7epsilon)/3)^-2$

$n=9/(49epsilon^2)$

fin qui è giusto?

[_luca.barletta]

Perché l'hai fatta diventare un'uguaglianza?

[BHK1]

per trovare l'identità, avrei fatto la stessa cosa per $x^2-36>0$

[BHK1]

se qualcuno può scrivere gli ultimi pasaggi, magari riesco a capire cosa si dovrebbe fare