Limite di successione ..

[marygrazy]

$\lim_{n \to \infty}n(sqrt(2+(3/n))-sqrt(2-(3/n)))$

nn so cm fare..
nn ho idea
è una forma indeterminata e nn so cm levare l'indeterminazione

[pater46]

https://www.matematicamente.it/forum/fun ... 57847.html

qui si è usato un procedimento che ti potrebbe tornare utile.

[mgiaff]

Ecco come farei io. Innanzitutto quelle radici "assomigliano" ad un asintotico notevole:
$(1 + \epsilon_n)^a -1 ~ a \epsilon_n$ per $\epsilon_n -> 0$
Questo può essere riscritto così: $(1 + \epsilon_n)^a ~ a \epsilon_n +1 $ per $\epsilon_n -> 0$

Il (falso) problema adesso, sta nel fatto che sotto radice abbiamo un $2 + \epsilon_n$. Quindi raccolgo in entrambe le radici un $ 2 $:
$lim_(x->oo) n(sqrt(2(1+3/(2n))) - sqrt(2(1-3/(2n)))) = lim_(x->oo) n( sqrt(2) sqrt(1+3/(2n)) - sqrt(2) sqrt(1-3/(2n))) = lim_(x->oo) sqrt(2)n(sqrt(1+3/(2n)) - sqrt(1-3/(2n)))$
Adesso posso applicare l'asintotico citato sopra:
$lim_(x->oo) sqrt(2)n[1/2 (3/(2n)) + 1 - (1/2 (-3/(2n)) + 1)] = lim_(x->oo) sqrt(2)n[3/(4n)+3/(4n)] = lim_(x->oo) (3sqrt(2)n)/(2n) = 3 sqrt(2)/2$

[marygrazy]

nn c'e' un altro modo per farlo.. apposta dell'asinotico?perchè io ancora non li ho studiati!

[mgiaff]

Gli asintotici non sono altro che dei limiti notevoli.

Comunque, hai studiato gli sviluppi in serie di Taylor?

[marygrazy]

"mgiaff":Gli asintotici non sono altro che dei limiti notevoli.

Comunque, hai studiato gli sviluppi in serie di Taylor?

sisi gli ho studiati

[mgiaff]

Beh se provi a sviluppare in serie di Maclaurin

$( 1 + y )^( 1 / 2 ) = 1 + 1 / 2 y + o(y)$ per $y -> 0$

A questo punto puoi sfruttare questa sostituzione nel limite (raccogliendo prima $sqrt(2)$)

[strangolatoremancino]

Se interessa una via più veloce è moltiplicare e dividere per $sqrt(2+3/n)+sqrt(2-3/n)$

[mgiaff]

Sì con le radici è il metodo più veloce. Però mi è sempre sembrata una cosa poco elegante xD