Limite di successione
sappiamo che Lim $a^n / (n!) =0$ con a>1
qualcuno conosce una dimostrazione rigorosa di questo limite?
qualcuno conosce una dimostrazione rigorosa di questo limite?
Risposte
Perché $a>1$? Vale per $a>0$, chiaramente visto che per $a=1$ è $1/(n!)$ e per $0https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#339872
Il limite vale 0 per ogni $a\in RR$; chiaramente basta dimostrarlo per $a>0$.
Fissa un intero $N > a$. Per ogni intero $n > N$ si ha che
$\frac{a^n}{n!} = \frac{a}{1}\cdot\frac{a}{2}\cdots \frac{a}{N-1}\cdot\frac{a}{N}\cdots \frac{a}{n}$.
Ciascuno dei primi $N-1$ fattori è minore di $a$, e ciascuno degli altri $n-N+1$ fattori è minore di $a/N$, da cui
$\frac{a^n}{n!} \leq a^{N-1} (a/N)^{n-N+1} = N^{N-1} (a/N)^n$.
Poni $q = N/a - 1$; poiché $N > a > 0$ si ha $q > 0$; inoltre $a/N = 1/(1+q)$.
Sostituendo nella disuguaglianza precedente e usando la disuguaglianza di Bernoulli si ottiene che
$0\leq \frac{a^n}{n!} \leq \frac{N^{N-1}}{(1+q)^n} \leq \frac{N^{N-1}}{1+nq}$.
Poiché l'ultimo termine tende a 0 per $n\to +\infty$, la tesi segue dal criterio del confronto.
Fissa un intero $N > a$. Per ogni intero $n > N$ si ha che
$\frac{a^n}{n!} = \frac{a}{1}\cdot\frac{a}{2}\cdots \frac{a}{N-1}\cdot\frac{a}{N}\cdots \frac{a}{n}$.
Ciascuno dei primi $N-1$ fattori è minore di $a$, e ciascuno degli altri $n-N+1$ fattori è minore di $a/N$, da cui
$\frac{a^n}{n!} \leq a^{N-1} (a/N)^{n-N+1} = N^{N-1} (a/N)^n$.
Poni $q = N/a - 1$; poiché $N > a > 0$ si ha $q > 0$; inoltre $a/N = 1/(1+q)$.
Sostituendo nella disuguaglianza precedente e usando la disuguaglianza di Bernoulli si ottiene che
$0\leq \frac{a^n}{n!} \leq \frac{N^{N-1}}{(1+q)^n} \leq \frac{N^{N-1}}{1+nq}$.
Poiché l'ultimo termine tende a 0 per $n\to +\infty$, la tesi segue dal criterio del confronto.
grazie 
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