Limite di successione
In questo esercizio si chiede di dimostrare che la successione converge a 0 applicando la definizione di convergenza/esistenza del limite
$\lim_{n \to \infty}(n+sin(n))/(n^3-n^2+1)=0$
e il libro che ho riporta questa dimotrazione:
"risulta che $|n+sin(n)|n^3-n^2=n^2(n-1)>n^2$ non appena $n>2$.
Ne segue che per $n>2$ si ha $|a_n|<2/n$
cosicchè per avere $|a_n|<\epsilon$ basterà prendere $n>v=max[2,2/\epsilon]$ "
adesso al di là dei passaggi che sembrano abbastanza chiari non riesco a capire che cosa si è fatto. Non mi sembra (o almeno non l'ho mai visto) che maggiorando e minorando il numeratore e il denominatore poi si dimostri che il limite della successione sia proprio zero.
Non riesco a capire proprio il senso profondo di ciò che ha fatto.. Mi sento un "idiota"perchè non riesco a capire..
Forse mi sfugge qualcosa ma questo è un esercizio guida (che non ho capito) e non riuscendo a capire questo non riesco nemmeno a comprendere che cosa debba fare negli altri che mi lascia per esercitarmi..
Help me please! Ho davvero bisogno di qualcuno che mi spieghi il senso di questa dimostrazione.
Grazie a tutti
[mod="LucaB"]
Cancello il riferimento all'urgenza dal titolo del topic
[/mod]
$\lim_{n \to \infty}(n+sin(n))/(n^3-n^2+1)=0$
e il libro che ho riporta questa dimotrazione:
"risulta che $|n+sin(n)|
Ne segue che per $n>2$ si ha $|a_n|<2/n$
cosicchè per avere $|a_n|<\epsilon$ basterà prendere $n>v=max[2,2/\epsilon]$ "
adesso al di là dei passaggi che sembrano abbastanza chiari non riesco a capire che cosa si è fatto. Non mi sembra (o almeno non l'ho mai visto) che maggiorando e minorando il numeratore e il denominatore poi si dimostri che il limite della successione sia proprio zero.
Non riesco a capire proprio il senso profondo di ciò che ha fatto.. Mi sento un "idiota"perchè non riesco a capire..
Forse mi sfugge qualcosa ma questo è un esercizio guida (che non ho capito) e non riuscendo a capire questo non riesco nemmeno a comprendere che cosa debba fare negli altri che mi lascia per esercitarmi..
Help me please! Ho davvero bisogno di qualcuno che mi spieghi il senso di questa dimostrazione.
Grazie a tutti
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Risposte
Ciao - hai ragione a cercare di capire.
Cerco di spiegarti come la vedo io. Il procedimento che hai descritto tende sostanzialmente a ricondurre il limite proposto a un altro limite
piu' semplice. Sei d'accordo che $\frac{2}{n}$ tende a zero ?. Se e' cosi' tutti passaggi fatti hanno lo scopo di maggiorare l'espressione di partenza
(in modulo) con una piu' semplice ( cioe' $2/n$ ) che tenda a zero; se ci si riesce allora la successione di partenza deve tender e a zero anch'essa.
Come scelgo le maggiorazioni/minorazioni da fare ? Beh a numeratore si intuisce che il termine piu' importante e' $n$ e quindi tento di maggiorare tutto
con $n$. A denominatore in realta' il termine piu' importante e' $n^3$ e volendo si potrebbe anche dire che $n^3-n^2+1\geq n^2(n-1)\geq n^2\frac{n}{2}$
se $n\geq2$, e facendo cosi' arriveresti a $|a_n|\leq\frac{4}{n^2}$ per $n\geq 2$ (che va a zero piu' rapidamente di $\frac{2}{n}$). Pero' puoi fare anche come il libro
e minorare il denominatore con $n^2$, l'importante e' che alla fine $n$ fratto $n^2$ e' infinitesimo.
Il discorso in sostanza e': per dimostrare che $a:n$ tende a zero basta maggiorare $|a_n|$ con qualcosa che tende a zero.
Cerco di spiegarti come la vedo io. Il procedimento che hai descritto tende sostanzialmente a ricondurre il limite proposto a un altro limite
piu' semplice. Sei d'accordo che $\frac{2}{n}$ tende a zero ?. Se e' cosi' tutti passaggi fatti hanno lo scopo di maggiorare l'espressione di partenza
(in modulo) con una piu' semplice ( cioe' $2/n$ ) che tenda a zero; se ci si riesce allora la successione di partenza deve tender e a zero anch'essa.
Come scelgo le maggiorazioni/minorazioni da fare ? Beh a numeratore si intuisce che il termine piu' importante e' $n$ e quindi tento di maggiorare tutto
con $n$. A denominatore in realta' il termine piu' importante e' $n^3$ e volendo si potrebbe anche dire che $n^3-n^2+1\geq n^2(n-1)\geq n^2\frac{n}{2}$
se $n\geq2$, e facendo cosi' arriveresti a $|a_n|\leq\frac{4}{n^2}$ per $n\geq 2$ (che va a zero piu' rapidamente di $\frac{2}{n}$). Pero' puoi fare anche come il libro
e minorare il denominatore con $n^2$, l'importante e' che alla fine $n$ fratto $n^2$ e' infinitesimo.
Il discorso in sostanza e': per dimostrare che $a:n$ tende a zero basta maggiorare $|a_n|$ con qualcosa che tende a zero.
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