Limite di successione

[valentyna88]

ciao raga m aiutate a fare qst successione
lim di (2*a^(1/n) - 1)^n per n ke tende ad inf


io ho provato ad applicare il criterio della radice ma nn arrivo da nessuna parte poikè viene 1 e il criterio nn c dà informazioni....[/asvg]

grazie allora vediamo se c riesco...scusatemi ma è il mio primo intervento


$\lim_{n \to \infty}$ $(2*root(n)(a)-1)^n$

con a € reali positivi

ho provato anke cn il limite notevole $\lim_{n \to \0}$ $(a^x-1)/x$ ke viene $ln(a)$ ma nn ci riesco....
derive mi idce k deve venire $a^2$

[clockover]

Non si capisce molto intendevi forse $lim_(n->infty)(2e^(1/n) - 1)^n$ prova a scrivere con le formule

https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html

e comunque se non mi sbaglio il criterio della radice si usa per le serie

[krek1]

Il limite che hai scritto mi sembra a occhio che vada a infinito per qualsiasi valore di a>0.

[valentyna88]

uffi ma io alla prof nn posso dire secondo me a okkio va a infinito.......

[dissonance]

In genere quando c'è una cosa di questa forma: $("una successione che tende a 1")^n$ viene in mente il limite notevole $(1+1/n)^n\toe$. Questo limite, più in generale, si può scrivere così: data una successione infinita $M_n$ ($M_n\to+infty$ oppure $M_n\to-infty$), risulta che $(1+1/M_n)^(M_n)\toe$. Qual è, nel nostro caso, la successione $M_n$? Troviamola risolvendo questa equazione: $2 root(n)a-1=1+1/M_n$, da cui $M_n=1/(2(root(n)a-1))$. Effettivamente $M_n\to-infty$(*), perciò possiamo servircene per il nostro limite. Infatti:
$(2root(n)a-1)^n=(1+1/M_n)^n=[(1+1/M_n)^(M_n)]^(n/(M_n))$. La successione in parentesi quadre tende a $e$, si tratta adesso di calcolare il limite di $n/M_n$ che dovrebbe essere più facile.

P.S.: A questo (*) punto me la sono cavata troppo alla svelta. Bisogna distinguere vari casi: ad esempio se $a=1$ l'espressione di $M_n$ non ha senso. In realtà in questo caso non ha senso tutto il nostro discorso, visto che stiamo parlando di una successione di valore costante 1, che chiaramente tende a 1. Perciò supponiamo $a!=1$. Per $a<1$ $M_n\to-infty$. Per $a>1$ $M_n\to infty$.

[edit] avevo scritto di nuovo "qual'è" con l'apostrofo. Mannaggia, non mi entra proprio in testa.

[krek1]

A occhio ho detto una bischerata scusa.

[valentyna88]

"dissonance":In genere quando c'è una cosa di questa forma: $("una successione che tende a 1")^n$ viene in mente il limite notevole $(1+1/n)^n\toe$. Questo limite, più in generale, si può scrivere così: data una successione infinita $M_n$ ($M_n\to+infty$ oppure $M_n\to-infty$), risulta che $(1+1/M_n)^(M_n)\toe$. Qual'è, nel nostro caso, la successione $M_n$? Troviamola risolvendo questa equazione: $2 root(n)a-1=1+1/M_n$, da cui $M_n=1/(2(root(n)a-1))$. Effettivamente $M_n\to-infty$(*), perciò possiamo servircene per il nostro limite. Infatti:
$(2root(n)a-1)^n=(1+1/M_n)^n=[(1+1/M_n)^(M_n)]^(n/(M_n))$. La successione in parentesi quadre tende a $e$, si tratta adesso di calcolare il limite di $n/M_n$ che dovrebbe essere più facile.

P.S.: A questo (*) punto me la sono cavata troppo alla svelta. Bisogna distinguere vari casi: ad esempio se $a=1$ l'espressione di $M_n$ non ha senso. In realtà in questo caso non ha senso tutto il nostro discorso, visto che stiamo parlando di una successione di valore costante 1, che chiaramente tende a 1. Perciò supponiamo $a!=1$. Per $a<1$ $M_n\to-infty$. Per $a>1$ $M_n\to infty$.

uffi ma facendola con derive mi da come risultato $a^2$

[dissonance]

E chi ti ha detto che non salti fuori $a^2$ anche da questo procedimento? Se $n/(M_n)$ tendesse a $log a^2$, a cosa tenderebbe tutta la successione? E poi Derive non è la Bibbia.

[dissonance]

Comunque, ho fatto un conticino... $n/(M_n)=2n(root(n)a-1)=2*(a^(1/n)-1)/(1/n)$. Beh, adesso è facile, no? Questo è un limite notevole, e guarda caso quanto fa? $2log\ a$. Chiaro?

[valentyna88]

grazie mille ...cmq ieri sera poi standoci un pò su ho trovato un altro procedimento ho trovato ke la mia successione è uguale a $e^(n*ln(2*a^(1/n)-1))$
poi applico de l'hòpital portando la $n$ al denominatore quindi $1/n$ e viene semplificando il tutto $e^(lna^2)$ k è uaguale a $a^2$

cmq grazie a tutti ma qst mi sembra il metodo più semplice, secondo voi è giusto???