Limite di successione

[fireball1]

Propongo il seguente limite, assegnato alla prima prova in itinere di Analisi per ing. informatica e automazione:

$lim_(n->+oo) (n+1)^(n+1)/n^n ( (pi(n+4))/(2n+4) - arctg( (n!-3)/((n-1)!) ) )

[jack110]

non sono del tutto certo, ma dovrebbe tornare $1/pi$?

ciao

[fireball1]

No, nel risultato (curioso, peraltro) compare il $pi$ ma non è così...

[jack110]

ooops...hai raigone...ho fatto un errore di raccolgimento...
però adesso mi torna $pi$ puro e semplice...e non penso sia questo il risultato curioso

ciao

[fireball1]

Infatti no...

[MaMo2]

Dovrebbe essere $pi*e$.

[jack110]

eh già...come al solito non ho riscritto il primo fattore come $e^log$....e infatti il risultato si è visto...
fortuna che non faccio ingegneria informatica

ciao

[fireball1]

"MaMo":Dovrebbe essere $pi*e$.

Quasi...

[MaMo2]

Riprovo: $(pi+1)*e$.

[fireball1]

Esatto! Per questo dicevo che il risultato
è curioso (d'altra parte, dal prof che ha scritto
il testo dell'esame, uno poteva aspettarselo),
perché comprende 3 dei 5 numeri che compaiono
nella famosa formula $e^(ipi)+1=0$.

[Piera4]

$(n+1)^(n+1)/n^n ( (pi(n+4))/(2n+4) - arctg( (n!-3)/((n-1)!) ) )=(1+1/n)^n(n+1) ( (pi(n+4))/(2n+4)-pi/2+pi/2 - arctg( (n!-3)/((n-1)!) ) )->e*pi+e$.
Infatti
$(1+1/n)^n(n+1) ( (pi(n+4))/(2n+4)-pi/2)->e*pi$,
tenendo conto che $lim_(x->+infty)x(pi/2-arctgx)=1$ si ha
$(1+1/n)^n(n+1) (pi/2 - arctg( (n!-3)/((n-1)!) ) )=(1+1/n)^n(n+1)((n-1)!)/(n!-3)*(n!-3)/((n-1)!) (pi/2 - arctg( (n!-3)/((n-1)!) ) )->e*1*1$.