Limite di successione
Buonasera ho una domanda sul calcolo di limite di una successione definita da 1/(-3)^n, io so che il limite del denominatore non esiste per n che va a infinito, dato che la base è minore di -1, però riflettendoci quel termine oscillerebbe tra +infinito e -infinito, e una volta fatto il reciproco ottengo sempre zero. Per dimostrarlo è sufficiente prendere le due sottosuccessioni dei termini dispari è pari e far vedere che in entrambi i casi il risultato del limite è zero? È un ragionamento che può avere senso? Grazie in anticipo
Risposte
Sì, ha senso: data una successione, se convergono le sottosuccessioni dei pari e dei dispari entrambe allo stesso limite per $n \to +\infty$ allora anche la successione converge allo stesso limite.
Se vuoi, puoi provare a dimostrarlo e verifichiamo insieme la correttezza del ragionamento.
Se vuoi, puoi provare a dimostrarlo e verifichiamo insieme la correttezza del ragionamento.
Non riesco a usare i simboli non so come si faccia quindi provo a scrivere dalla tastiera normale:
Prendo i casi in cui n=2k e i casi in cui n=2k+1, le due sottosuccessioni verrebbero 1/(-3)^2k che equivale a scrivere 1/(3)^n per la parità dell’esponente, e che quindi va a zero. L’altra verrebbe 1/(-3)^2k+1 che equivale a scrivere -1/(3)^2k+1 che va comunque a zero. Io ho pensato così, ma ci sono altri modi?
Prendo i casi in cui n=2k e i casi in cui n=2k+1, le due sottosuccessioni verrebbero 1/(-3)^2k che equivale a scrivere 1/(3)^n per la parità dell’esponente, e che quindi va a zero. L’altra verrebbe 1/(-3)^2k+1 che equivale a scrivere -1/(3)^2k+1 che va comunque a zero. Io ho pensato così, ma ci sono altri modi?
Questo va bene per dimostrare che le sottosuccessioni dei pari e dei dispari della successione di termine generale $a_n=\frac{1}{(-3)^n}$ tendono entrambe a $0$, e quindi dal risultato che ti ho citato precedentemente segue che $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{(-3)^n}=0$; però intendevo dimostrare il teorema generale che ciò vale per una successione qualsiasi.
Qui trovi un tutorial per le formule. Puoi anche "citare" gli altri utenti e leggere i loro messaggi citati per fare pratica su come scrivere, fai solo attenzione a non inviare per sbaglio una risposta
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Qui trovi un tutorial per le formule. Puoi anche "citare" gli altri utenti e leggere i loro messaggi citati per fare pratica su come scrivere, fai solo attenzione a non inviare per sbaglio una risposta
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Ah Sisi scusami, la dimostrazione l’ho capita l’ha svolta il professore a lezione, grazie
Prego. Qui puoi procedere anche in altri modi:
(i) o usi la definizione perché puoi addirittura risolvere $|\frac{1}{(-3)^n}|<\epsilon$ esplicitamente;
(ii) o noti che per ogni $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$ è $n<3^n$, per cui:
$$0 \le \left|\frac{1}{(-3)^n}\right|=\frac{1}{3^n}<\frac{1}{n}$$
e concludi col teorema dei due carabinieri.
(i) o usi la definizione perché puoi addirittura risolvere $|\frac{1}{(-3)^n}|<\epsilon$ esplicitamente;
(ii) o noti che per ogni $n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$ è $n<3^n$, per cui:
$$0 \le \left|\frac{1}{(-3)^n}\right|=\frac{1}{3^n}<\frac{1}{n}$$
e concludi col teorema dei due carabinieri.
È vero non ci avevo pensato, grazie mille per l’aiuto
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