Limite di successione
Utilizzando solo il criterio della radice, rapporto o radice rapporto studiare il limite della successione:
$a_n=\frac{n^{n!}}{(n!)^{n}}$
Posso tentare di utilizzare il criterio della radice e scrivere $a_n=\frac{(n^{(n-1)!})^n}{(n!)^{n}}$......., ma il fattoriale mi crea problemi.
$a_n=\frac{n^{n!}}{(n!)^{n}}$
Posso tentare di utilizzare il criterio della radice e scrivere $a_n=\frac{(n^{(n-1)!})^n}{(n!)^{n}}$......., ma il fattoriale mi crea problemi.
Risposte
Se faccio $root(n)(a_n)$ trovo la successione $b_n=\frac{n^{(n-1)!}}{n!}$.
Evidente che se $n\geq4$, allora $(n-1)!>n$ ( si può provare per induzione)
Sappiamo che la successione $c_n=\frac{n^n}{n!}$ diverge e poichè $b_n\geqc_n$, allora $b_n$ diverge e per il criterio della radice $a_n$ diverge.
Il desiderio è avere un'applicazione "pulita" dei criteri sulle successioni e non coinvolgere confronti. Vi chiedo un aiuto e il controllo dei passaggi da me fatti!
Evidente che se $n\geq4$, allora $(n-1)!>n$ ( si può provare per induzione)
Sappiamo che la successione $c_n=\frac{n^n}{n!}$ diverge e poichè $b_n\geqc_n$, allora $b_n$ diverge e per il criterio della radice $a_n$ diverge.
Il desiderio è avere un'applicazione "pulita" dei criteri sulle successioni e non coinvolgere confronti. Vi chiedo un aiuto e il controllo dei passaggi da me fatti!
Va bene così.
"otta96":
Va bene così.
Grazie però vorrei uscirmene con un rapporto, una radice o un rapporto-radice. Nessun confronto!
Perché nel testo è richiesto uno di questi metodi!
Il limite di $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ è $+\infty$, hai provato ad applicare immediatamente il criterio del rapporto senza passare attraverso quello della radice $n$-sima?
"Mephlip":
Il limite di $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ è $+\infty$, hai provato ad applicare immediatamente il criterio del rapporto senza passare attraverso quello della radice $n$-sima?
Se ne esce fuori da questa relazione?
$\frac{(n+1)^{(n+1)!}}{((n+1)!)^{(n+1)}}\cdot\frac{(n!)^{n}}{n^{n!}}$
Sì. Hai che:
$$\frac{(n+1)^{(n+1)!}}{n^{n!}}\cdot\frac{(n!)^{n}}{((n+1)!)^{n+1}}=\frac{n^{(n+1)!}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{(n+1)!}}{n^{n!}} \cdot \frac{(n!)^{n}}{(n+1)^{n+1}(n!)^{n+1}}$$
$$=\left[n^{(n+1)n!-n!}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{(n+1)!}\right] \cdot \frac{(n!)^n}{(n+1)^{n+1}(n!)^n \cdot n!}$$
$$=\left[n^{n\cdot n!}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{(n+1)!}\right] \cdot \frac{1}{n^{n+1}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\cdot n!}$$
$$=\left[n^{n\cdot n!-n-1}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{(n+1)!}\right] \cdot \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\cdot n!}$$
Ora, sai che $\frac{n^n}{n!} \to+\infty$ per $n\to+\infty$, quindi dato che $n\cdot n!$ cresce decisamente più di $n$ (e non sarà di certo quel $-n-1$ a smorzarlo abbastanza all'infinito), dovresti riuscire a dimostrare facilmente che $\frac{n^{n\cdot n!-n-1}}{n!} \to +\infty$ per $n\to+\infty$. Poi, $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{(n+1)!} \to +\infty$ per $n\to+\infty$ e $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} \to e$ per $n\to+\infty$ (puoi dimostrare entrambi questi risultati rimaneggiando opportunamente gli esponenti per ricondurti al limite del numero di Nepero).
Se non ti torna, ti aiuto domani che ora non ho troppo tempo e voglia per stare dietro a questi conti infernali
. Fammi sapere.
$$\frac{(n+1)^{(n+1)!}}{n^{n!}}\cdot\frac{(n!)^{n}}{((n+1)!)^{n+1}}=\frac{n^{(n+1)!}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{(n+1)!}}{n^{n!}} \cdot \frac{(n!)^{n}}{(n+1)^{n+1}(n!)^{n+1}}$$
$$=\left[n^{(n+1)n!-n!}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{(n+1)!}\right] \cdot \frac{(n!)^n}{(n+1)^{n+1}(n!)^n \cdot n!}$$
$$=\left[n^{n\cdot n!}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{(n+1)!}\right] \cdot \frac{1}{n^{n+1}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\cdot n!}$$
$$=\left[n^{n\cdot n!-n-1}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{(n+1)!}\right] \cdot \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\cdot n!}$$
Ora, sai che $\frac{n^n}{n!} \to+\infty$ per $n\to+\infty$, quindi dato che $n\cdot n!$ cresce decisamente più di $n$ (e non sarà di certo quel $-n-1$ a smorzarlo abbastanza all'infinito), dovresti riuscire a dimostrare facilmente che $\frac{n^{n\cdot n!-n-1}}{n!} \to +\infty$ per $n\to+\infty$. Poi, $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{(n+1)!} \to +\infty$ per $n\to+\infty$ e $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} \to e$ per $n\to+\infty$ (puoi dimostrare entrambi questi risultati rimaneggiando opportunamente gli esponenti per ricondurti al limite del numero di Nepero).
Se non ti torna, ti aiuto domani che ora non ho troppo tempo e voglia per stare dietro a questi conti infernali
. Fammi sapere.
Va bene, pensavo a passaggi meno fastidiosi e che comunque rimandano ad altre dimostrazione anche se semplici.
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