Limite di successione

[libo93]

Buonasera!! Avrei il seguente limite:

$ lim_(n-> +oo) (sen(pi /2+npi)*(4^n+5^logn))/n^logn $

Non so proprio neanche da dove cominciare. Qualche suggerimento?

[Luca.Lussardi]

Comincia a buttare quel $sin$, con una semplice osservazione scopri quanto fa... poi vedi sopra che cosa domina, se $4^n$ o $5^{\log n}$.

[libo93]

L'unica cosa che noto nel $ sin $ è che: $ lim_(n -> +oo) sin(pi/2+npi)=sin(+oo) $ che non esiste perchè $ -1<= senx<= 1 $.

Mentre tra $ 4^n $ e $ 5^logn $ direi che domina $ 5^logn $ però non so se è giusto.

[Mephlip]

"vollie.2":L'unica cosa che noto nel $ sin $ è che: $ lim_(n -> +oo) sin(pi/2+npi)=sin(+oo) $ che non esiste perchè $ -1<= senx<= 1 $.

Fai un disegno della circonferenza goniometrica, considera il seno di $\pi/2$. Ora, dato che $n$ è intero non negativo, cosa succede se aggiungi a $\pi/2$ la quantità $n \pi$ al variare di $n$ intero non negativo? Che valori ottieni?

"vollie.2":
Mentre tra $ 4^n $ e $ 5^logn $ direi che domina $ 5^logn $ però non so se è giusto.

No, non domina $5^{\log n}$: per capire come si confrontano esponenziali con basi differenti, ricorda che puoi scrivere $4^n=e^{\log 4^n}=e^{n \log 4}$ e $5^{\log n}=e^{\log 5^{\log n}}=e^{\log n \cdot \log 5}$. Così puoi confrontare con più semplicità $4^n$ e $5^{\log n}$, perché li riconduci alla stessa base $e$ e puoi calcolare il limite del loro rapporto per vedere chi è maggiore dell'altro da un certo indice naturale $n_0$ in poi.

[libo93]

Ahhh giusto! Oscilla tra -1 e 1 perchè ad esempio per n=0 ottengo $ sen(pi/2)=1 $ e per n=1 $ sen((3pi)/2)=-1 $ e così via... quindi in teoria potrei sostituirlo con $ (-1)^n $ no?

Per la seconda parte quindi devo fare:

$ lim_(n->+oo)e^(nlog4)/e^(lognlog5)=+oo $ quindi domina $ 4^n $ giusto?

Il mio limite lo posso riscrivere così no?

$ lim_(n->+oo)((-1)^n*4^n)/n^logn $

[pilloeffe]

Ciao vollie.2,

Il limite proposto non esiste.

[libo93]

Quindi come posso fare?

[Mephlip]

"vollie.2":Ahhh giusto! Oscilla tra -1 e 1 perchè ad esempio per n=0 ottengo $ sen(pi/2)=1 $ e per n=1 $ sen((3pi)/2)=-1 $ e così via... quindi in teoria potrei sostituirlo con $ (-1)^n $ no?

Esatto!

"vollie.2":
Per la seconda parte quindi devo fare:

$ lim_(n->+oo)e^(nlog4)/e^(lognlog5)=+oo $ quindi domina $ 4^n $ giusto?

Giusto anche questo.

"vollie.2":
Il mio limite lo posso riscrivere così no?

$ lim_(n->+oo)((-1)^n*4^n)/n^logn $

Qua è delicato. Se hai "buttato" $5^{\log n}$ perché hai pensato che è trascurabile rispetto a $4^n$ devi fare più attenzione, perché in alcuni casi ti porta a fare degli errori. Non si va al limite "a pezzi", il $5^{\log n}$ è trascurabile solo quando fai tendere $n$ a $\infty$, mentre come vedi ti sei portato ancora dietro il segno di limite nell'ultima uguaglianza che hai scritto (infatti, se poi vai al limite hai una forma indeterminata del tipo $\infty/\infty$).

Per evitare ciò, devi sempre raccogliere a fattor comune il termine dominante in modo che poi l'altro non dominante, nel rapporto, tenda a $0$: quindi scrivere
$$\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n 4^n \left(1+\frac{5^{\log n}}{4^n}\right)}{n^{\log n}}$$
Ora, come correttamente affermato da pilloeffe, quest'ultimo limite non esiste. Come fai ad accorgertene? Per il momento, dimentichiamoci del $(-1)^n$. Nuovamente devi confrontare due esponenziali con basi diverse, $4^n$ ed $n^{\log n}$. Ricicla il ragionamento di prima sul confronto per esponenziali con basi diverse, vedi che succede e ricordati di quel $(-1)^n$. Cosa concludi?

[libo93]

Ok, quindi per confrontare faccio:

$ 4^n->e^(nlog4) $

$ n^logn->e^(lognlogn)->e^(log^2n) $

$ lim_(n->+oo)e^(nlog4)/e^(log^2n)=+oo $

Quindi anche qui domina $ 4^n $ .

Posso dire che non esiste grazie a $ (-1)^n $ perchè si avrebbe un'alternanza tra $ -oo $ e $ +oo $ giusto?

Il discorso sarebbe stato diverso se, invece che $ 4^n $, avesse dominato $ n^logn $ perché a quel punto veniva $ (-1)^n *0=0 $, giusto?

[Mephlip]

"vollie.2":Ok, quindi per confrontare faccio:

$ 4^n->e^(nlog4) $

$ n^logn->e^(lognlogn)->e^(log^2n) $

$ lim_(n->+oo)e^(nlog4)/e^(log^2n)=+oo $

Quindi anche qui domina $ 4^n $ .

Posso dire che non esiste grazie a $ (-1)^n $ perchè si avrebbe un'alternanza tra $ -oo $ e $ +oo $ giusto?

Sì, giusto. Ma perché usi "$\to$" nelle prime due formule? Sono uguaglianze, non quantità che tendono a qualche valore in questo contesto. Usa il simbolo $=$, è fatto apposta . I simboli sono importanti, hanno un significato ben preciso.

"vollie.2":
Il discorso sarebbe stato diverso se, invece che $ 4^n $, avesse dominato $ n^logn $ perché a quel punto veniva $ (-1)^n *0=0 $, giusto?

Sostanzialmente l'idea è questa, ma come ti ho già detto: non puoi mandare al limite a pezzi solo alcune quantità dipendenti da $n$. Quindi, se $n \to \infty$, non può coesistere la presenza di $(-1)^n$ e la tendenza a $0$ del rapporto $\frac{4^n+5^{\log n}}{a_n}$, con $a_n$ successione "dominante" per $n \to \infty$ rispetto a $4^n+5^{\log n}$ (anche qui, non dire "se avesse dominato $n^{\log n}$ anziché $4^n$", perché è falso; chiaramente ti sei spiegato comunque, ma piuttosto dai un nome generico ad una successione e spiega, almeno a parole e intuitivamente, che proprietà ha quella successione in questo contesto. Durante gli studi è importante anche imparare quando bisogna essere pedanti, specialmente poi se devi esporre i tuoi ragionamenti a un docente che deve giudicarti e può basarsi esclusivamente sulla tua capacità di esprimerti).

Se vuoi fare le cose correttamente, devi usare il teorema dei due carabinieri osservando che, per ogni $n \in \mathbb{N}$, risulta $-1 \le (-1)^n \le 1$; ora che ti sei sbarazzato della presenza di $(-1)^n$ puoi concludere come hai già detto, osservando che $-\frac{4^n+5^{\log n}}{a_n} \to 0$ e $\frac{4^n+5^{\log n}}{a_n} \to 0$ entrambe per $n \to \infty$. Dunque, per il teorema dei due carabinieri, la successione tra esse compresa $\frac{(-1)^n (4^n+5^{\log n})}{a_n}$ tende anch'essa a $0$ per $n \to \infty$.