Limite di successione
Salve a tutti, sto provando a fare questo limite di successione da un po' di tempo ma non riesco a venirne a capo.
Ho provato a confrontare il risultato datomi dal libro con quello sui vari calcolatori a variare del parametro α , ma sembrano non coincidere.
lim n---> infinito (n^α) * {[(n^(2)+ n)^1/5] - [(n^(2)+2*n+1)^1/5]} per α ∈ R
+ ∞ se α>3/5 ; 1/5 se α= 3/5 e 0 se α<3/5
Vi ringrazio per l'aiuto
Ho provato a confrontare il risultato datomi dal libro con quello sui vari calcolatori a variare del parametro α , ma sembrano non coincidere.
lim n---> infinito (n^α) * {[(n^(2)+ n)^1/5] - [(n^(2)+2*n+1)^1/5]} per α ∈ R
+ ∞ se α>3/5 ; 1/5 se α= 3/5 e 0 se α<3/5
Vi ringrazio per l'aiuto
Risposte
"Aelle1994":
$lim _(n->infty) n^α ((n^(2)+ n)^(1/5) -(n^(2)+2n+1)^(1/5))$
Scriviamolo così che è più comprensibile
Cosa hai provato a fare? Se raccogli nelle due parentesi trovi delle espressioni del tipo $(1+1/n)^\gamma$ che dovresti saper sviluppare con taylor.
Ho provato a farlo con il limite notevole del logaritmo scrivendo le due parentesi in forma esponenziale. Lo sviluppo con Taylor non l'abbiamo ancora affrontato.
"Srazionalizza".
Ciao Aelle1994,
Innanzitutto scriverei il limite proposto nella forma seguente:
$ \lim_{n \to +\infty} n^{\alpha} [(n^2 + n)^(1/5) - (n^2+2n+1)^(1/5)] = - \lim_{n \to +\infty} n^{\alpha} [(n^2+2n+1)^(1/5) - (n^2 + n)^(1/5)] $
Poi magari è un po' lungo, ma potresti fare uso dell'identità
$a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3 b + a^2 b^2 + a b^3 + b^4) $
ove nel tuo caso $a := (n^2+2n+1)^(1/5) $ e $b := (n^2 + n)^(1/5) $, per cui si ha:
$a - b = (n^2+2n+1)^(1/5) - (n^2 + n)^(1/5) = $
$ = [n^2+2n+1 - (n^2 + n)]:[(n^2+2n+1)^(4/5) + (n^2+2n+1)^(3/5) (n^2 + n)^(1/5) + (n^2+2n+1)^(2/5) (n^2 + n)^(2/5) + (n^2+2n+1)^(1/5) (n^2 + n)^(3/5) + (n^2 + n)^(4/5)] = $
$ = [n + 1]:[(n^2+2n+1)^(4/5) + (n^2+2n+1)^(3/5) (n^2 + n)^(1/5) + (n^2+2n+1)^(2/5) (n^2 + n)^(2/5) + (n^2+2n+1)^(1/5) (n^2 + n)^(3/5) + (n^2 + n)^(4/5)] $
Per cui per $\alpha = 3/5 $ il limite proposto mi risulta $- 1/5 $
Innanzitutto scriverei il limite proposto nella forma seguente:
$ \lim_{n \to +\infty} n^{\alpha} [(n^2 + n)^(1/5) - (n^2+2n+1)^(1/5)] = - \lim_{n \to +\infty} n^{\alpha} [(n^2+2n+1)^(1/5) - (n^2 + n)^(1/5)] $
Poi magari è un po' lungo, ma potresti fare uso dell'identità
$a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3 b + a^2 b^2 + a b^3 + b^4) $
ove nel tuo caso $a := (n^2+2n+1)^(1/5) $ e $b := (n^2 + n)^(1/5) $, per cui si ha:
$a - b = (n^2+2n+1)^(1/5) - (n^2 + n)^(1/5) = $
$ = [n^2+2n+1 - (n^2 + n)]:[(n^2+2n+1)^(4/5) + (n^2+2n+1)^(3/5) (n^2 + n)^(1/5) + (n^2+2n+1)^(2/5) (n^2 + n)^(2/5) + (n^2+2n+1)^(1/5) (n^2 + n)^(3/5) + (n^2 + n)^(4/5)] = $
$ = [n + 1]:[(n^2+2n+1)^(4/5) + (n^2+2n+1)^(3/5) (n^2 + n)^(1/5) + (n^2+2n+1)^(2/5) (n^2 + n)^(2/5) + (n^2+2n+1)^(1/5) (n^2 + n)^(3/5) + (n^2 + n)^(4/5)] $
Per cui per $\alpha = 3/5 $ il limite proposto mi risulta $- 1/5 $
Vi ringrazio per le risposte siete stati molto chiari e precisi.
Saluti
Saluti
Scusatemi se ritorno sull'argomento, ma risvolgendo i calcoli alla fine come fate ad ottenere il risultato di -1/5. Io ho messo in evidenza al denominatore i termini con l'esponente piu alto e mi trovo che il limite e uguale a 0* n^α.
Per farla semplice, considera a denominatore solo i termini dominanti in $n^2$, sicché il limite proposto ha lo stesso risultato del seguente:
$ - \lim_{n \to +\infty} n^{\alpha} (n + 1)/[5n^(8/5)] $
A questo punto dovrebbe esserti chiaro che se $\alpha = 3/5 $ il numeratore ha lo stesso grado del denominatore e pertanto il risultato del limite proposto è proprio $- 1/5 $; se $\alpha < 3/5 $ allora il numeratore ha grado inferiore al denominatore e dunque in tal caso il risultato del limite proposto è $0$; infine se $\alpha > 3/5 $ il numeratore ha grado superiore al denominatore e pertanto in tal caso il risultato del limite proposto è $-\infty $
Riassumendo si ha:
$ \lim_{n \to +\infty} n^{\alpha} [(n^2 + n)^(1/5) - (n^2+2n+1)^(1/5)] = {(- 1/5 \text{ se } \alpha = 3/5),(0 \text{ se } \alpha < 3/5),(-\infty \text{ se } \alpha > 3/5):} $
$ - \lim_{n \to +\infty} n^{\alpha} (n + 1)/[5n^(8/5)] $
A questo punto dovrebbe esserti chiaro che se $\alpha = 3/5 $ il numeratore ha lo stesso grado del denominatore e pertanto il risultato del limite proposto è proprio $- 1/5 $; se $\alpha < 3/5 $ allora il numeratore ha grado inferiore al denominatore e dunque in tal caso il risultato del limite proposto è $0$; infine se $\alpha > 3/5 $ il numeratore ha grado superiore al denominatore e pertanto in tal caso il risultato del limite proposto è $-\infty $
Riassumendo si ha:
$ \lim_{n \to +\infty} n^{\alpha} [(n^2 + n)^(1/5) - (n^2+2n+1)^(1/5)] = {(- 1/5 \text{ se } \alpha = 3/5),(0 \text{ se } \alpha < 3/5),(-\infty \text{ se } \alpha > 3/5):} $
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