Limite di successione
Buongiorno, devo risolvere il seguente limite:
$lim_{n \rightarrow +\infty} (2+3^n)^(1/(2n))$
senza le derivate, solo con i limiti notevoli e le stime asintotiche.
Tra i tentativi che ho fatto finora , solo quello della sostituzione non si è rivelato sbagliato, però non so come procedere dopo un certo punto:
$t=1/n$, ottenendo $lim_{n\rightarrow 0}e^(t log(2+sqrt(3)^(1/t)))$
Grazie in anticipo per l'attenzione
$lim_{n \rightarrow +\infty} (2+3^n)^(1/(2n))$
senza le derivate, solo con i limiti notevoli e le stime asintotiche.
Tra i tentativi che ho fatto finora , solo quello della sostituzione non si è rivelato sbagliato, però non so come procedere dopo un certo punto:
$t=1/n$, ottenendo $lim_{n\rightarrow 0}e^(t log(2+sqrt(3)^(1/t)))$
Grazie in anticipo per l'attenzione
Risposte
Beh, osserva che $(2+3^n)^(1/(2n)) = 2^(1/(2n))*[(1+3^n/2)^(2/3^n)]^(3^n/(4n))$ e puoi applicare due limiti notevolissimi.
Avevo già provato quel limite notevole, tuttavia, a parte darmi un risultato sbagliato, non si può applicare in questo caso poiché, considerata $b_n=2/3^n$, si ha:
$b_n \rightarrow 0$
$(1+1/b_n)^(b_n)$
il che va contro la definizione del limite notevole, che prevede che $b_n \rightarrow +\infty$.
O sbaglio qualcosa nel ragionamento?
$b_n \rightarrow 0$
$(1+1/b_n)^(b_n)$
il che va contro la definizione del limite notevole, che prevede che $b_n \rightarrow +\infty$.
O sbaglio qualcosa nel ragionamento?
Ciao Davide7998,
Beh, se puoi usare le stime asintotiche, dato che $ 2 + 3^n $ si comporta come $3^n $ per $n \to +\infty $ semplicemente si ha:
$ \lim_{n \to +infty}(2+3^n)^{1/(2n)} = \lim_{n \to +infty}(3^n)^{1/(2n)} = \sqrt{3} $
"Davide7998":
devo risolvere il seguente limite:
$\lim_{n \to +infty}(2+3^n)^{1/(2n)} $
[...] solo con i limiti notevoli e le stime asintotiche.
Beh, se puoi usare le stime asintotiche, dato che $ 2 + 3^n $ si comporta come $3^n $ per $n \to +\infty $ semplicemente si ha:
$ \lim_{n \to +infty}(2+3^n)^{1/(2n)} = \lim_{n \to +infty}(3^n)^{1/(2n)} = \sqrt{3} $
Ciao Davide7998,
Volendo si può risolvere anche sfruttando la relazione $f(x)^g(x)=e^(g(x)log(f(x)))$ come hai iniziato tu.
Ricordo che $exp(y)=e^y$ (si usa questa notazione per evitare di diventare ciechi guardando i numeretti che si fanno sempre più piccoli all'esponente)
$lim_{n->+\infty}(2+3^n)^{\frac{1}{2n}}=lim_{n->+\infty}exp(\frac{log(2+3^n)}{2n})=lim_{n->+\infty}exp(\frac{nlog3+log(2/3^n+1)}{2n})=lim_{n->+\infty}exp(\frac{log3+\frac{log(\frac{2}{3^n}+1)}{n}}{2})=exp(\frac{log3}{2})=e^\frac{log3}{2}=e^log(sqrt3)=sqrt(3)$
Ho usato diverse proprietà dei logaritmi.
Quante soluzioni per un esercizio!!
Volendo si può risolvere anche sfruttando la relazione $f(x)^g(x)=e^(g(x)log(f(x)))$ come hai iniziato tu.
Ricordo che $exp(y)=e^y$ (si usa questa notazione per evitare di diventare ciechi guardando i numeretti che si fanno sempre più piccoli all'esponente)
$lim_{n->+\infty}(2+3^n)^{\frac{1}{2n}}=lim_{n->+\infty}exp(\frac{log(2+3^n)}{2n})=lim_{n->+\infty}exp(\frac{nlog3+log(2/3^n+1)}{2n})=lim_{n->+\infty}exp(\frac{log3+\frac{log(\frac{2}{3^n}+1)}{n}}{2})=exp(\frac{log3}{2})=e^\frac{log3}{2}=e^log(sqrt3)=sqrt(3)$
Ho usato diverse proprietà dei logaritmi.
Quante soluzioni per un esercizio!!
Aggiungo che il limite proposto si può risolvere anche coi limiti notevoli raccogliendo $3^n $
Grazie per le risposte! Era così semplice solo raccogliendo $3^n$ 
@pillloeffe volevo chiarire una cosa sul tuo primo approccio: è un ragionamento sempre valido o bisogna stare attenti ai diversi casi? Perché so che le stime asintotiche non si possono applicare liberamente sulle funzioni composte (questo caso sarebbe una composta del tipo $(f(x))^(g(x))$, giusto?) e la somma algebrica di funzioni.
@pillloeffe volevo chiarire una cosa sul tuo primo approccio: è un ragionamento sempre valido o bisogna stare attenti ai diversi casi? Perché so che le stime asintotiche non si possono applicare liberamente sulle funzioni composte (questo caso sarebbe una composta del tipo $(f(x))^(g(x))$, giusto?) e la somma algebrica di funzioni.
Brevemente: è vero che quando si parla di stime asintotiche con somme algebriche di funzioni e composizione di funzioni occorre una certa cautela. Comunque la strada maestra è rifarsi alla definizione di stima asintotica. Nel caso in esame è evidente che $\lim_{n \to +\infty} (2 + 3^n)/3^n = 1 $ che è proprio ciò che occorre per asserire che le due successioni sono asintoticamente equivalenti.
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