Limite di successione

[alelippi10]

Salve volevo proporvi questo limite di successione:

$\lim_{n \to \infty} ((n+1)^(n+1)-en^(n+1))/n^n$

Ho provato a risolverlo in due modi il primo raccogliendo un $n^n$

$n^n((1+1/n)^n*(n+1)-en)/n^n$

Poi scrivo in forma esponenziale e sviluppo

$e^(n*log(1+1/n)) *(n+1)-en$

E mi rimane

$e(n+1-n)=e$

Il secondo metodo è molto simile solo che ho raccolto un $n^(n+1)$ all’inizio è il risultato mi viene sempre $e$ non capisco l’errore che faccio il risultato corretto è $e/2$

[Daffeen]

Non vorrei dire una sciocchezza ma mi trovo come te. Controllando la funzione su una calcolatrice grafica si capisce che non può limitare mai 1,35... (e/2) ma ad [highlight]e[/highlight]

[gugo82]

Sviluppa bene… Hai $e^(n log(1 + 1/n)) = e^(n( 1/n - 1/(2n^2) + text(o)(1/n^2))) = e^(1 - 1/(2n) + text(o) (1/n)) = e - e/(2n) + text(o)(1/n)$.

[Bokonon]

$lim_(n->oo)[(1+1/n)^n*(n+1)-en]=lim_(n->oo)(1+1/n)^n-lim_(n->oo)n[e-(1+1/n)^n]=e-lim_(n->oo)n[e-(1+1/n)^n]=e-lim_(n->oo)n[e-e^(nln(1+1/n)]]=e-lim_(k->0)(1/k)[e-e^((1/k)ln(1+k)]]$

Se si risolve ora, il limite è indefinito 0/0, questo suggerisce che usare il limite notevole (che altro non è che lo sviluppo di mclaurin al primo termine) $lim_(k->0) ln(1+k)/k=1$ non è sufficiente. Proviamo a svilupparlo al secondo termine $ln(1+k)=k-k^2/2+o(k^2)$ e sostituiamo.


$e-lim_(k->0)[e-e^((1/k)(k-k^2/2))]/(2k/2)=e-(e/2)lim_(k->0)[1-e^(-k/2)]/(k/2)=e-(e/2)lim_(k->0)e^(-k/2)[(e^(k/2)-1)/(k/2)]=e-e/2*1*1=e/2$

[alelippi10]

Grazie quindi bastava arrivare con lo sviluppo al termine di secondo grado