Limite di successione
Ciao a tutti, devo calcolare il seguente limite:
$ lim_(n->+infty) (n^2+n/2-sqrt(n^4+n^3+2n^2)) $
Allora tale limite diventa $ lim_(n->+infty) (n^2+n/2-n^2) $
Dunque, il risultato mi viene semplicemente $ +infty $. Tuttavia, non mi trovo. Cosa sbaglio?
$ lim_(n->+infty) (n^2+n/2-sqrt(n^4+n^3+2n^2)) $
Allora tale limite diventa $ lim_(n->+infty) (n^2+n/2-n^2) $
Dunque, il risultato mi viene semplicemente $ +infty $. Tuttavia, non mi trovo. Cosa sbaglio?
Risposte
Non concordo su quel "diventa"...
Ciao floyd123,
Concordo con Luca.Lussardi nel non concordare con te...
Farei così:
$ lim_{n \to +\infty} (n^2+n/2-sqrt{n^4+n^3+2n^2}) = lim_{n \to +\infty} (n + 1/4)^2 - sqrt{n^4+n^3+2n^2} - 1/16 = $
$ = lim_{n \to +\infty} frac{[(n + 1/4)^2 - sqrt{n^4+n^3+2n^2}] \cdot [(n + 1/4)^2 + sqrt{n^4+n^3+2n^2}]}{(n + 1/4)^2 + sqrt{n^4+n^3+2n^2}} - 1/16 = $
$ = lim_{n \to +\infty} frac{n^4 + n^3 + (3n^2)/8 + n/16 + 1/256 - n^4 - n^3 - 2n^2}{n^2(1 + 1/(2n) + 1/(16n^2) + sqrt{1+1/n+2/n^2})} - 1/16 = $
$ = lim_{n \to +\infty} frac{(3n^2)/8 - 2n^2 + n/16 + 1/256}{n^2(1 + 1/(2n) + 1/(16n^2) + sqrt{1+1/n+2/n^2})} - 1/16 = $
$ = frac{3/8 - 2}{2} - 1/16 = - 7/8 $
Concordo con Luca.Lussardi nel non concordare con te...
Farei così:
$ lim_{n \to +\infty} (n^2+n/2-sqrt{n^4+n^3+2n^2}) = lim_{n \to +\infty} (n + 1/4)^2 - sqrt{n^4+n^3+2n^2} - 1/16 = $
$ = lim_{n \to +\infty} frac{[(n + 1/4)^2 - sqrt{n^4+n^3+2n^2}] \cdot [(n + 1/4)^2 + sqrt{n^4+n^3+2n^2}]}{(n + 1/4)^2 + sqrt{n^4+n^3+2n^2}} - 1/16 = $
$ = lim_{n \to +\infty} frac{n^4 + n^3 + (3n^2)/8 + n/16 + 1/256 - n^4 - n^3 - 2n^2}{n^2(1 + 1/(2n) + 1/(16n^2) + sqrt{1+1/n+2/n^2})} - 1/16 = $
$ = lim_{n \to +\infty} frac{(3n^2)/8 - 2n^2 + n/16 + 1/256}{n^2(1 + 1/(2n) + 1/(16n^2) + sqrt{1+1/n+2/n^2})} - 1/16 = $
$ = frac{3/8 - 2}{2} - 1/16 = - 7/8 $
"pilloeffe":
Ciao floyd123,
Concordo con Luca.Lussardi nel non concordare con te...
Farei così:
$ lim_{n \to +\infty} (n^2+n/2-sqrt{n^4+n^3+2n^2}) = lim_{n \to +\infty} (n + 1/4)^2 - sqrt{n^4+n^3+2n^2} - 1/16 = $
$ = lim_{n \to +\infty} frac{[(n + 1/4)^2 - sqrt{n^4+n^3+2n^2}] \cdot [(n + 1/4)^2 + sqrt{n^4+n^3+2n^2}]}{(n + 1/4)^2 + sqrt{n^4+n^3+2n^2}} - 1/16 = $
$ = lim_{n \to +\infty} frac{n^4 + n^3 + (3n^2)/8 + n/16 + 1/256 - n^4 - n^3 - 2n^2}{n^2(1 + 1/(2n) + 1/(16n^2) + sqrt{1+1/n+2/n^2})} - 1/16 = $
$ = lim_{n \to +\infty} frac{(3n^2)/8 - 2n^2 + n/16 + 1/256}{n^2(1 + 1/(2n) + 1/(16n^2) + sqrt{1+1/n+2/n^2})} - 1/16 = $
$ = frac{3/8 - 2}{2} - 1/16 = - 7/8 $
Grazie mille pilloeffe, gentilissimo come al solito! Complimenti per la risoluzione
Puoi anche solo moltiplicare numeratore e denominatore per
$(n^2+n/2)+sqrt(n^4+n^3+2n^2)$ e raccogliere $n^2$ a numeratore e denominatore ottenendo
$lim_(n->+infty)(-7/4)/(1+2/n+sqrt(1+1/n+2/n^2))=-7/8$
$(n^2+n/2)+sqrt(n^4+n^3+2n^2)$ e raccogliere $n^2$ a numeratore e denominatore ottenendo
$lim_(n->+infty)(-7/4)/(1+2/n+sqrt(1+1/n+2/n^2))=-7/8$
"anto_zoolander":
Puoi anche solo moltiplicare numeratore e denominatore per
$(n^2+n/2)+sqrt(n^4+n^3+2n^2)$ e raccogliere $n^2$ a numeratore e denominatore ottenendo
$lim_(n->+infty)(-7/4)/(1+2/n+sqrt(1+1/n+2/n^2))=-7/8$
Grazie mille
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