Limite di successione

[laio_a]

$lim_{n \to +\infty} n^3 ((1 + 1/n^2)^n - e^{1/n}) $
Salve, vorrei capire come arrivare al risultato. A me viene una forma indeterminata nel risultato, e non riesco a prendere altra strada. Grazie

[pilloeffe]

Ciao laio_a,

Il limite proposto è il seguente:

$lim_{n \to +\infty} n^3 ((1 + 1/n^2)^n - e^{1/n}) $

$lim_{n \to +\infty} n^3 ((1 + 1/n^2)^n - e^{1/n}) $ 

Ti sarei grato se cancellassi quella brutta immagine dal tuo OP e la sostituissi con quanto appare all'interno del box CODICE: qui sopra...

Farei così:

$lim_{n \to +\infty} n^3 ((1 + 1/n^2)^n - e^{1/n}) = lim_{n \to +\infty} n^3 (e^{n ln(1 + 1/n^2) }- e^{1/n}) = lim_{n \to +\infty} n^3 e^{1/n} (e^{n ln(1 + 1/n^2) - 1/n} - 1) $[tex]\sim[/tex]
$ lim_{n \to +\infty} n^3 e^{1/n} (n ln(1 + 1/n^2) - 1/n) = lim_{n \to +\infty} n^3 e^{1/n} (n(1/n^2 - frac{1}{2n^4} + o(1/n^6)) - 1/n) = $
$ = lim_{n \to +\infty} n^3 e^{1/n} (1/n - frac{1}{2n^3} + o(1/n^5) - 1/n) = lim_{n \to +\infty} n^3 e^{1/n} (- frac{1}{2n^3} + o(1/n^5)) = $
$ = lim_{n \to +\infty} e^{1/n} (- frac{1}{2} + o(1/n^2)) = - 1/2 $

[laio_a]

Grazie mille, non ci ho proprio pensato a utilizzare questo procedimento infatti non l’avevo mai utilizzato, però ho capito perfettamente. Ho già cambiato l’immagine con il codice, scusami ma essendo nuovo non so usare bene i codici. Grazie ancora per la spiegazione!

[pilloeffe]

"laio_a":scusami ma essendo nuovo non so usare bene i codici.

Certo, è comprensibile... Comunque sei stato bravo, come hai notato non è poi così difficile come sembra...

"laio_a":Grazie ancora per la spiegazione!

Prego!