Limite di successione
Buona domenica a tutti, ho un dubbio con il seguente limite di successione
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}(n^4-n^2+6n-1)=+\infty \)
Ricordo la definizione di divergenza che viene applicata nel seguente esercizio, la quale dice :
Fissato un \(\displaystyle a \in \mathbb R \), si deve verificare che esiste un indice \(\displaystyle n_a\ \in \mathbb N \) tale che sia \(\displaystyle (n^4-n^2+6n-1)>a \) \(\displaystyle \forall n\geqslant n_a \), fin qui tutto chiaro.
Dividerò la dimostrazione dell'esercizio in due punti, per poi indicare i punti in cui non capisco.
Dimostrazione:
(1) \(\displaystyle n^4-n^2+6n-1 = n^4 (1-1/n^2+6/n^3-1/n^4) \geqslant n^4(1-|1/n^2+6/n^3-1/n^4|) \), infatti si ha che per \(\displaystyle n \) grande si \(\displaystyle |1/n^2+6/n^3-1/n^4|\leqslant 1/n^2+6/n^3-1/n^4 < 1/2 \), basta che sia (2) \(\displaystyle 1/n^2 <1/6 \leftrightarrow n^2>6 , 6/n^3 < 1/6 \leftrightarrow n^3>36, 1/n^4< 1/6 \leftrightarrow n^4>6 \) pertanto basta per \(\displaystyle n\geqslant 4 \) proprio per \(\displaystyle n \geqslant 4 \) si ha quindi \(\displaystyle n^4-n^2+6n-1 \geqslant n^4/2 \) basta che sia \(\displaystyle n_a = max {2|a|+1,3} \) per avere \(\displaystyle n^4-n^2+6n-1>a \) se \(\displaystyle n \geqslant n_a \).
Io da quello che ho capito, la parte (1) dimostra che per \(\displaystyle n \) abbastanza grandi, la distanza dell'intervallo in cui varia \(\displaystyle a < 1/2 \).... Perché proprio 1/2 ??
Invece quando si trova al punto (2) non so da dove esce fuori 1/6
Spero che qualcuno molto generoso mi spieghi i diversi passaggi
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}(n^4-n^2+6n-1)=+\infty \)
Ricordo la definizione di divergenza che viene applicata nel seguente esercizio, la quale dice :
Fissato un \(\displaystyle a \in \mathbb R \), si deve verificare che esiste un indice \(\displaystyle n_a\ \in \mathbb N \) tale che sia \(\displaystyle (n^4-n^2+6n-1)>a \) \(\displaystyle \forall n\geqslant n_a \), fin qui tutto chiaro.
Dividerò la dimostrazione dell'esercizio in due punti, per poi indicare i punti in cui non capisco.
Dimostrazione:
(1) \(\displaystyle n^4-n^2+6n-1 = n^4 (1-1/n^2+6/n^3-1/n^4) \geqslant n^4(1-|1/n^2+6/n^3-1/n^4|) \), infatti si ha che per \(\displaystyle n \) grande si \(\displaystyle |1/n^2+6/n^3-1/n^4|\leqslant 1/n^2+6/n^3-1/n^4 < 1/2 \), basta che sia (2) \(\displaystyle 1/n^2 <1/6 \leftrightarrow n^2>6 , 6/n^3 < 1/6 \leftrightarrow n^3>36, 1/n^4< 1/6 \leftrightarrow n^4>6 \) pertanto basta per \(\displaystyle n\geqslant 4 \) proprio per \(\displaystyle n \geqslant 4 \) si ha quindi \(\displaystyle n^4-n^2+6n-1 \geqslant n^4/2 \) basta che sia \(\displaystyle n_a = max {2|a|+1,3} \) per avere \(\displaystyle n^4-n^2+6n-1>a \) se \(\displaystyle n \geqslant n_a \).
Io da quello che ho capito, la parte (1) dimostra che per \(\displaystyle n \) abbastanza grandi, la distanza dell'intervallo in cui varia \(\displaystyle a < 1/2 \).... Perché proprio 1/2 ??
Invece quando si trova al punto (2) non so da dove esce fuori 1/6
Spero che qualcuno molto generoso mi spieghi i diversi passaggi
Risposte
Nella prima parte dimostra che quel valore assoluto è minore di 1/2 (Perchè un mezzo? Perché chi ha fatto la dimostrazione ha scelto questo valore). Così 1-"quel valore assoluto" è maggiore di un mezzo e perciò n^4 (1-"val ass") è maggiore di n^4 1/2.
Per poter dire che quel valore assoluto è minore di un mezzo ha fatto delle maggiorazioni, e quegli 1/6 sono di nuovo dei valori scelti da chi ha fatto la dimostrazione. In realtà quelle maggiorazioni sono vere da n maggiore o uguale a 3 in poi, infatti nel finale lo spartiacque è 3 nel determinare l'indice n_a. Dove l'hai trovata questa dimistrazione?
Per poter dire che quel valore assoluto è minore di un mezzo ha fatto delle maggiorazioni, e quegli 1/6 sono di nuovo dei valori scelti da chi ha fatto la dimostrazione. In realtà quelle maggiorazioni sono vere da n maggiore o uguale a 3 in poi, infatti nel finale lo spartiacque è 3 nel determinare l'indice n_a. Dove l'hai trovata questa dimistrazione?
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