Limite di successione

[matthewcrn7]

Salve!
Esercitandomi sui limiti di successione ho trovato questo esercizio che non so risolvere:
\( \lim_{x\rightarrow \infty} (\frac{n^2+n-1}{n^2-3n+4})^n \)
Vedendo la n all'esponente penso che si debba arrivare alla forma:
\( \lim_{x\rightarrow \infty} (1+\frac{1}{n})^{n}= e \)
magari con qualcosa in più.

Ma tutti gli "arrangiamenti" che ho fatto non mi hanno portato a nulla.
Ne propongo uno (per dimostrare che un po' c'ho lavorato):
\( \lim_{x\rightarrow \infty} (\frac{n^2+n-1}{n^2-3n+4})^n \)
\( \lim_{x\rightarrow \infty} (\frac{n^2-3n+4}{n^2-3n+4}+\frac{4n-5}{n^2-3n+4})^n \)
\( \lim_{x\rightarrow \infty} (1 + \frac{4n-5}{n^2-3n+4})^n \)
Ho pensato che forse moltiplicando e dividendo in modo tale da ottenere \( \frac{4n-5}{n^2-3n+4} \) all'esponente mi avrebbe aiutato e invece ha solo complicato la situazione.
Avete qualche idea?
Grazie in anticipo,
MatthewCrn


PS: il risultato del libro è \( e^4 \)

[Sk_Anonymous]

Secondo me sei ad un passo dal concludere: \[\left( 1 + \frac{4n - 5}{n^2 - 3n+4} \right)^n = \left[\underbrace{\left( 1 + \frac{4n - 5}{n^2 - 3n+4} \right)^{\frac{n^2 - 3n +4}{4n -5}}}_{=I(n)} \right]^{n \cdot \frac{4n - 5}{n^2 - 3n +4}}. \]Passando al limite si ha che \[\lim_n I(n) = e\] e poi \[\lim_n \frac{\not{n^2} (4 - 5/n)}{\not{n^2}(1-3/n+4/n^2)} = 4 \]... e se riuscissi a produrre un blackslash decente, il risultato sarebbe anche più elegante, oltre che corretto.

[matthewcrn7]

"Delirium":Secondo me sei ad un passo dal concludere: \[\left( 1 + \frac{4n - 5}{n^2 - 3n+4} \right)^n = \left[\underbrace{\left( 1 + \frac{4n - 5}{n^2 - 3n+4} \right)^{\frac{n^2 - 3n +4}{4n -5}}}_{=I(n)} \right]^{n \cdot \frac{4n - 5}{n^2 - 3n +4}}. \]Passando al limite si ha che \[\lim_n I(n) = e\] e poi \[\lim_n \frac{\not{n^2} (4 - 5/n)}{\not{n^2}(1-3/n+4/n^2)} = 4 \]... e se riuscissi a produrre un blackslash decente, il risultato sarebbe anche più elegante, oltre che corretto.

Intanto grazie Delirium
Come immaginavo ero sulla strada giusta, ma mi mancava l' arguzia finale, cioè spostare la "n" fuori dalle quadre, che mi avrebbe permesso di sistemare tutto.