Limite di successione

[pietromathx]

Buongiorno a tutti. Ieri la figlia di una mia amica mi chiedeva come risolvere alcuni esercizi, solo uno non mi è riuscito e mi è rimasta la curiosità di sapere come si risolve, dato che vi ho provato e riprovato. Dovrei calcolare il limite di:

((log n!) / log n ) - n

Ho fatto il denominatore comune e poi al numeratore al posto della differenza dei logaritmi ho scritto il logaritmo del rapporto, ottenendo:

( log (n! / n^n) ) / log n

Che è una forma di indecisione del tipo infinito / infinito, giusto?

Qui mi son bloccato, anche se ho provato altri calcoli che non mi han portato a nulla.
Qualcuno saprebbe aiutarmi? Grazie

[Noisemaker]

ricordando che,
\begin{align}
\ln n!\sim n\ln n-n+o\left(\frac{1}{n}\right)
\end{align}
hai
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln n!}{\ln n}-n &\sim\lim_{n\to+\infty}\frac{ n\ln n-n+o\left(\frac{1}{n}\right)}{\ln n}-n =\lim_{n\to+\infty}\frac{ n\ln n-n -n\ln n +o\left(\frac{1}{n}\right)}{\ln n} \\
&=\lim_{n\to+\infty}\frac{ -n +o\left(\frac{1}{n}\right)}{\ln n} =-\infty
\end{align}

[Seneca1]

@Noisemaker: Faccio solo un'osservazione pignola; quella relazione asintotica è un'uguaglianza (hai indicato il resto!).

[Noisemaker]

@Seneca: è una giusta osservazione

[pietromathx]

Grazie per la risposta, non conoscevo quella relazione asintotica.
Ora mi è chiaro