Limite di somme parziali

[frapippo1]

Dimostrare che:

$lim_(n->infty)sum_{k=0}^{n}e^{-n}{n^k}/{k!}=1/2$

Io presumo di conoscere una dimostrazione che si basa su alcuni teoremi di teoria delle probabilità; sarei curioso di sapere se esistono altri modi per dimostrare questa convergenza.
Ciao.

[DMNQ]

"frapippo":Dimostrare che:

$lim_(n->infty)sum_{k=0}^{n}e^{-n}{n^k}/{k!}=1/2$

Io presumo di conoscere una dimostrazione che si basa su alcuni teoremi di teoria delle probabilità; sarei curioso di sapere se esistono altri modi per dimostrare questa convergenza.
Ciao.

Buon giorno .
La questione è interessante . Non conosco metodi elementari .
Ma si puo fare nel modo seguente :
Colla formula di Taylor , ho
$ e^n = sum_{k=0}^{n} {n^k}/{k!} + \int_0^n \frac{(n-t)^n}{n!} e^t dt $
$ 1 = sum_{k=0}^{n}e^{-n}{n^k}/{k!} + \int_0^n \frac{(n-t)^n}{n!} e^(t-n) dt $
$ 1 = sum_{k=0}^{n}e^{-n}{n^k}/{k!} + \int_0^1 \frac{(n-n u)^n}{n!} e^(n u-n) n du $
$ 1 = sum_{k=0}^{n}e^{-n}{n^k}/{k!} + \ n frac{n^n}{n!} \int_0^1\ (1- u)^n e^(u-1) du $
$ 1 = sum_{k=0}^{n}e^{-n}{n^k}/{k!} + \ n frac{n^n}{n!} \int_0^1\ e^(- n \phi(u) )du $ (*)
se pongo $ \phi (u) = 1-u-ln(1-u) $ .
Un teorema di Laplace mi permette di scrivere $ \int_0^1\ e^(- n \phi(u)) du$ ~ $e^(-n \phi(0))\sqrt{\frac{\pi}{2n \phi '' (0)}} $
cioè $ \int_0^1\ e^(- n \phi(u)) du $ ~ $ e^(-n)\sqrt{\frac{\pi}{2n}} $ quando $ n-> +infty $ .
Conosco la formula di Stirling $ n!$ ~ $ \sqrt(2\pi n) * n^n * e^(-n) $
dunque $ \ n frac{n^n}{n!} \int_0^1\ e^(- n \phi(u) )du $ ~ $ \frac{1}{2} $ .
Con (*) , ne deduco $ sum_{k=0}^{n}e^{-n}{n^k}/{k!} $ ~ $ \frac{1}{2} $ .
e cosi , $lim_(n->+infty)sum_{k=0}^{n}e^{-n}{n^k}/{k!}=1/2$ .

Sarei interessato se trova un modo più semplice !

[frapippo1]

Devo ammettere che non conosco il teorema di Laplace che hai usato, ma la tua dimostrazione è così dettagliata che non posso far altro che fidarmi..

Come già anticipato, presumo di sapere una dimostrazione basata sulla teoria delle probabilità (in particolar modo sul teorema del limite centrale). Fammi sapere se sei interessato a questa dimostrazione, così posto l'esercizio nella sezione di Probabilità e Statistica.

Ciao e grazie per la risposta.

[DMNQ]

[quote=frapippo]Devo ammettere che non conosco il teorema di Laplace che hai usato, ma la tua dimostrazione è così dettagliata che non posso far altro che fidarmi..


Buongiorno .
Ho usato un teorema che studia $ \int_a^b e^(-x \phi(t)) f(t) dt $ quando $ x -> +infty $ ( metodo di Laplace ) .
Certo , sono interessato a questa dimostrazione e mi piacerebbe molto di conoscerla .
Ciao .

[frapippo1]

D'accordo, allora posto il problema nella sezione statistica e probabilità..ciao

[frapippo1]

Questo è il link: calcolare-questo-limite-t86311.html