Limite di somme
Ciao a tutti, non riesco a calcolare questo limite
$lim_{x\to\infty}\sqrt{x^2-6}-x+1$
dice che fa 1, ma a me viene $+\infty$
$lim_{x\to\infty}\sqrt{x^2-6}-x+1$
dice che fa 1, ma a me viene $+\infty$
Risposte
cosa hai fatto?
$lim_{x\to\infty}\sqrt{x^2(1-\frac{6}{x^2})}-x+1=x\sqrt{1-\frac{6}{x^2}}-x+1=x(\sqrt{1-\frac{6}{x^2}}-1+\frac{1}{x})$
e ci sei , ricorda che $(1+x)^{\beta}-1 \sim\beta x$, se $xto 0$, hai
\[\lim_{x\to +\infty}x\left(\sqrt{1-\frac{6}{x^2}}-1+\frac{1}{x}\right)\sim\lim_{x\to +\infty}x\left(-\frac{1}{2}\cdot \frac{6}{x^2} +\frac{1}{x}\right)=\lim_{x\to +\infty} - \frac{3}{x} +1=1 \]
\[\lim_{x\to +\infty}x\left(\sqrt{1-\frac{6}{x^2}}-1+\frac{1}{x}\right)\sim\lim_{x\to +\infty}x\left(-\frac{1}{2}\cdot \frac{6}{x^2} +\frac{1}{x}\right)=\lim_{x\to +\infty} - \frac{3}{x} +1=1 \]
scusami non ho capito bene...
quando $x\to+\infty$ hai che
\[\sqrt{1-\frac{6}{x^2}}-1\sim \frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{6}{x^2}\right)=- \frac{3}{x^2} \]
\[\sqrt{1-\frac{6}{x^2}}-1\sim \frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{6}{x^2}\right)=- \frac{3}{x^2} \]
ma dove viene fuori $\frac{1}{2}$
\[\sqrt{1-\frac{6}{x^2}}-1=\left(1-\frac{6}{x^2}\right)^{1/2}-1\sim \frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{6}{x^2}\right)=- \frac{3}{x^2}\]
Ora capisco...sarebbe $(1)^(\frac{1}{2})$ mentre il $(\frac{6}{x^2})^(\frac{1}{2})$ lo ignora perchè va a 0 giusto?
ma no! 
è lo sviluppo di Taylor arrestato al primo ordine, quindi un limite notevole
è lo sviluppo di Taylor arrestato al primo ordine, quindi un limite notevole
ancora non siamo arrivati a Taylor! 
Sapresto mica dirmi come si puo fare senza Taylor..
Sapresto mica dirmi come si puo fare senza Taylor..
basta usare il limite notevole:
\[\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^{\beta}-1}{\beta x}=1\]
che nel tuo caso è
\[\lim_{x\to +\infty}\frac{(1-\frac{6}{x^2})^{1/2}-1}{-\frac{3}{x^2}}=1\]
quindi \[\left(1-\frac{6}{x^2}\right)^{1/2}-1\sim -\frac{3}{x^2}\]
\[\lim_{x\to 0}\frac{(1+x)^{\beta}-1}{\beta x}=1\]
che nel tuo caso è
\[\lim_{x\to +\infty}\frac{(1-\frac{6}{x^2})^{1/2}-1}{-\frac{3}{x^2}}=1\]
quindi \[\left(1-\frac{6}{x^2}\right)^{1/2}-1\sim -\frac{3}{x^2}\]
è quel circa che non mi convince. Non so se sul compito viene accettato..
scusa, ma viene accettato
\begin{align}\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1\qquad &\Rightarrow\qquad \sin x\sim x \\
\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}\qquad &\Rightarrow\qquad 1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}
\end{align}
\begin{align}\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1\qquad &\Rightarrow\qquad \sin x\sim x \\
\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}\qquad &\Rightarrow\qquad 1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}
\end{align}
"bugger":
è quel circa che non mi convince. Non so se sul compito viene accettato..
Non è un "circa": è il simbolo che rappresenta l'uguaglianza asintotica tra due funzioni in un limite o "similitudine" (anche se non è proprio il nome corretto). Un consiglio, dopo aver letto la discussione che avete avuto e i vari dubbi: prima di lanciarti in esercizi vari e chiedere come risolvere esercizi con strumenti che non conosci, io mi leggerei per bene le parti teoriche di base, perché a me sembra che ti manchino proprio delle conoscenze fondamentali. E te lo sto dicendo da docente di Analisi.
Grazie mille per i consigli ciampax
Si può risolvere anche razionalizzando
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