Limite di serie - determinare valore di convergenza di serie
Dovendo risolvere questo limite:
$lim_(n->infty)sum_(i=0)^n1/(n+sqrti)$
Devo sapere qual'è il valore della sommatoria, che converge definitivamente, però non so come arrivare al valore a cui converge, che credo sia 1.
Non so come procedere, mi potete aiutare?
EDIT:
Un ragionamento forse banale, e che comunque mi veniva intuitivo a prima vista è stato:
$lim_(n->infty)sum_(i=0)^n1/(n+sqrti)=lim_(n->infty)1/n+1/(n+1)+1/(n+sqrt2)+1/(n+sqrt3)+...+1/(n+sqrtn)$
Per cui, dato che tutti i singoli termini vengono zero, anche la somma di tutti i limiti deve essere zero, qual'è l'errore in questo ragionamento?
$lim_(n->infty)sum_(i=0)^n1/(n+sqrti)$
Devo sapere qual'è il valore della sommatoria, che converge definitivamente, però non so come arrivare al valore a cui converge, che credo sia 1.
Non so come procedere, mi potete aiutare?
EDIT:
Un ragionamento forse banale, e che comunque mi veniva intuitivo a prima vista è stato:
$lim_(n->infty)sum_(i=0)^n1/(n+sqrti)=lim_(n->infty)1/n+1/(n+1)+1/(n+sqrt2)+1/(n+sqrt3)+...+1/(n+sqrtn)$
Per cui, dato che tutti i singoli termini vengono zero, anche la somma di tutti i limiti deve essere zero, qual'è l'errore in questo ragionamento?
Risposte
Vado d'intuito...
forse esiste una serie che è minore di quella data e che converge per un certo valore A ed esiste una serie maggiore o uguale di quella data che converge per lo stesso valore A. Quindi anche la tua serie converge ad A.
Insomma, io proverei ad utilizzare il metodo del confronto.
forse esiste una serie che è minore di quella data e che converge per un certo valore A ed esiste una serie maggiore o uguale di quella data che converge per lo stesso valore A. Quindi anche la tua serie converge ad A.
Insomma, io proverei ad utilizzare il metodo del confronto.
scrittore, ti ringrazio per l'input, ma ho bisogno di un aiuto più concreto, avevo già provato a trovare due serie di quel genere, ma senza successo.
Copiato nel post principale (per facilitare la visualizzazione):
"Un ragionamento forse banale, e che comunque ....."
Copiato nel post principale (per facilitare la visualizzazione):
"Un ragionamento forse banale, e che comunque ....."
Considera che [tex]n+\sqrt{i}\ge n\quad \forall n,i \in \mathbb{N}[/tex], possiamo quindi scrivere:
[tex]\displaystyle\frac{1}{n+\sqrt{i}}\le\frac{1}{n}[/tex]. Come possiamo procedere ora? Ti lascio la palla
Nota che non so come concludere l'esercizio, la mia è solo un'idea che ti permette di dire che il limite della successione è minore o al più uguale ad uno.
[tex]\displaystyle\frac{1}{n+\sqrt{i}}\le\frac{1}{n}[/tex]. Come possiamo procedere ora? Ti lascio la palla
Nota che non so come concludere l'esercizio, la mia è solo un'idea che ti permette di dire che il limite della successione è minore o al più uguale ad uno.
"Mathematico":
Considera che [tex]n+\sqrt{i}\ge n\quad \forall n,i \in \mathbb{N}[/tex], possiamo quindi scrivere:
[tex]\displaystyle\frac{1}{n+\sqrt{i}}\le\frac{1}{n}[/tex]. Come possiamo procedere ora? Ti lascio la palla
Nota che non so come concludere l'esercizio, la mia è solo un'idea che ti permette di dire che il limite della successione è minore o al più uguale ad uno.
Il fatto è che quella serie è della successione $a_i$, non di $a_n$, e quindi $1/n->0$ e non a 1 (poichè fa parte del limite di successione $a_n$, per $n->infty$).
Questo si ricollega al mio dubbio iniziale (vedi EDIT post principale), o sto sbagliando qualcosa io o questo limite viene 0, il che però non risulta da altre fonti.
Io per successione intendo [tex]\displaystyle a_n=\sum_{i=0}^n \frac{1}{n +\sqrt{i}}[/tex], ora poichè:
[tex]\displaystyle\frac{1}{n+\sqrt{i}}\le\frac{1}{n}[/tex]
allora [tex]\displaystyle \sum_{i=0}^n \frac{1}{n +\sqrt{i}}\le \sum_{i=0}^n \frac{1}{n} = \frac{n+1}{n}[/tex]. Passando al limite membro a membro ottieni che:
[tex]\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n \frac{1}{n+\sqrt{i}}\le 1[/tex]
Ci rimane da determinare ora una successione che minori la nostra [tex]a_n[/tex], che converga ad 1, ma in questo momento non mi sovviene
. Per quanto riguarda il tuo ragionamento, credo sia fallace perchè al secondo membro hai un numero finito di addendi, quindi il limite è effettivamente 0, ma al primo membro n è sia un parametro della sommatoria, sia una componente del termine generale.
Insomma istintivamente hai fatto questo:
[tex]\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n \frac{1}{n+\sqrt{i}} = \sum_{i=0}^n \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n+\sqrt{i}}[/tex] che è errato perchè la sommatoria al primo membro dipende da n. Spero di essermi spiegato alla meno peggio
[tex]\displaystyle\frac{1}{n+\sqrt{i}}\le\frac{1}{n}[/tex]
allora [tex]\displaystyle \sum_{i=0}^n \frac{1}{n +\sqrt{i}}\le \sum_{i=0}^n \frac{1}{n} = \frac{n+1}{n}[/tex]. Passando al limite membro a membro ottieni che:
[tex]\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n \frac{1}{n+\sqrt{i}}\le 1[/tex]
Ci rimane da determinare ora una successione che minori la nostra [tex]a_n[/tex], che converga ad 1, ma in questo momento non mi sovviene
. Per quanto riguarda il tuo ragionamento, credo sia fallace perchè al secondo membro hai un numero finito di addendi, quindi il limite è effettivamente 0, ma al primo membro n è sia un parametro della sommatoria, sia una componente del termine generale.Insomma istintivamente hai fatto questo:
[tex]\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n \frac{1}{n+\sqrt{i}} = \sum_{i=0}^n \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n+\sqrt{i}}[/tex] che è errato perchè la sommatoria al primo membro dipende da n. Spero di essermi spiegato alla meno peggio
Ok, per quanto non sia ancora completamente soddisfatto sul tipo di ragionamento da fare, intanto ho trovato due successioni che risolvono l'esercizio:
$(n+1)/(n+sqrtn)<=sum_(i=0)^n1/(n+sqrti)<=(n+1)/n$
Entrambi i termini di comparazione tendono a 1, per cui anche il termine centrale deve tendere a 1.
Però ancora non mi è chiaro l'errore che commetto nel ragionamento del post principale (dopo l'EDIT), qualcuno me lo può spiegare? Se capisco quello evito di fare errori intuitivi la prossima volta.
$(n+1)/(n+sqrtn)<=sum_(i=0)^n1/(n+sqrti)<=(n+1)/n$
Entrambi i termini di comparazione tendono a 1, per cui anche il termine centrale deve tendere a 1.
Però ancora non mi è chiaro l'errore che commetto nel ragionamento del post principale (dopo l'EDIT), qualcuno me lo può spiegare? Se capisco quello evito di fare errori intuitivi la prossima volta.
"Mathematico":
Io per successione intendo [tex]\displaystyle a_n=\sum_{i=0}^n \frac{1}{n +\sqrt{i}}[/tex], ora poichè:
[tex]\displaystyle\frac{1}{n+\sqrt{i}}\le\frac{1}{n}[/tex]
allora [tex]\displaystyle \sum_{i=0}^n \frac{1}{n +\sqrt{i}}\le \sum_{i=0}^n \frac{1}{n} = \frac{n+1}{n}[/tex]. Passando al limite membro a membro ottieni che:
[tex]\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n \frac{1}{n+\sqrt{i}}\le 1[/tex]
Ci rimane da determinare ora una successione che minori la nostra [tex]a_n[/tex], che converga ad 1, ma in questo momento non mi sovviene
Insomma istintivamente hai fatto questo:
[tex]\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n \frac{1}{n+\sqrt{i}} = \sum_{i=0}^n \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n+\sqrt{i}}[/tex] che è errato perchè la sommatoria al primo membro dipende da n. Spero di essermi spiegato alla meno peggio
Abbiamo scritto contemporaneamente
Credo di aver capito ora il mio errore, ti ringrazio molto, adesso ci rifletto un pò affinché mi sia chiaro al 100%.
"nitai108":
Ok, per quanto non sia ancora completamente soddisfatto sul tipo di ragionamento da fare, intanto ho trovato due successioni che risolvono l'esercizio:
$(n+1)/(n+sqrtn)<=sum_(i=0)^n1/(n+sqrti)<=(n+1)/n$
Entrambi i termini di comparazione tendono a 1, per cui anche il termine centrale deve tendere a 1.
Però ancora non mi è chiaro l'errore che commetto nel ragionamento del post principale (dopo l'EDIT), qualcuno me lo può spiegare? Se capisco quello evito di fare errori intuitivi la prossima volta.
Complimenti
.Se per caso non ti è chiaro il perchè non funge il tuo metodo, fai un fischio
.
"Mathematico":
Complimenti
Se per caso non ti è chiaro il perchè non funge il tuo metodo, fai un fischio
Adesso è tutto chiaro, grazie per l'aiuto!
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