Limite di radice n-esima di n fattoriale
Sto studiando per l'esame di analisi e non capisco in che modo calcolare il limite di $root(n)(n!)$. Ho sentito parlare dell'approssimazione di Stirling ma non mi è chiaro come usare quel metodo. Effettivamente la professoressa ha detto che non siamo in grado di risolvere questo limite e non lo metterà all'esame ma è una mia curiosità. Grazie. 
Risposte
la formula di Stirling la conosci?
te la scrivo qui:
$n! ~= n^n e^(-n) sqrt(2pin)$
prova a scrivere le radici sotto forma di potenze e facci sapere.
ciao! e ... benvenut* nel forum.
te la scrivo qui:
$n! ~= n^n e^(-n) sqrt(2pin)$
prova a scrivere le radici sotto forma di potenze e facci sapere.
ciao! e ... benvenut* nel forum.
"adaBTTLS":
la formula di Stirling la conosci?
te la scrivo qui:
$n! ~= n^n e^(-n) sqrt(2pin)$
prova a scrivere le radici sotto forma di potenze e facci sapere.
ciao! e ... benvenut* nel forum.
(benvenuto)
comunque è una forma indeterminata $\infty$ \ $\infty$ .
L'ho quindi messa in questa forma: $ \frac{(n/e)^n * \(2*\pi*n)^(1/2)}{root(n)((n/e)^n * \(2*\pi*n)^(1/2)}$
A questo punto dovrei raccogliere qualcosa ma non so cosa.
Come già suggerito adaBTTLS procedi calcolando il limite di
$\lim_(n->\infty)e^(-1)n(2\pin)^(\frac{1}{2n}))$
Ti conviene
$\lim_(n->\infty)e^(-1)n(2\pin)^(\frac{1}{2n}))$
Ti conviene
"K.Lomax":
Come già suggerito adaBTTLS procedi calcolando il limite di
$\lim_(n->\infty)e^(-1)n(2\pin)^(\frac{1}{2n}))$
Ti conviene
Allora tende a $+\infty$ perchè $n/e$ è $\infty/e$ quindi tende a $+\infty$, $(2\pin)^(\frac{1}{2n})$ tende ad 1 perchè $1/(2n)$ tende a 0 e qualsiasi numero elevato a 0 dà 1. Quindi $+\infty*1$ fa $+\infty$. Confermate?
C'è un sistema (imho) più facile per calcolare questo limite e passa dai teoremi di Cesaro.
Uno di questi teoremi, infatti, dice:
se una successione $(a_n)$ di numeri reali e positivi converge, allora anche la successione delle medie geometriche $(a_0a_1...a_n)^(1/n)$ converge e allo stesso limite (vale anche se il limite è $+-infty$). (Nota secondaria: Per alcuni autori questo non è un teorema di Cesaro ma un corollario).
Da questo teorema segue una tecnica di calcolo dei limiti:
se $a_{n+1}//a_n\toL$, allora $(a_n)^(1/n)\toL$ (pure questa vale anche per $L=+-infty$).
Per $a_n=n!$, $a_{n+1}//a_n=(n+1)!//n! =(n+1)\to+infty$, da cui $(a_n)^(1/n)\to+infty$ ovvero
$lim_{n\toinfty}root(n)(n!)=+infty$.
Una (per me) ottima dispensa sui teoremi di Cesaro si trova all'indirizzo
http://www2.ing.unipi.it/~d6081/DIDA/Cesaro.pdf
[edit] sostituita $l$ con $L$, si poteva confondere con $//$ linea di frazione.
Uno di questi teoremi, infatti, dice:
se una successione $(a_n)$ di numeri reali e positivi converge, allora anche la successione delle medie geometriche $(a_0a_1...a_n)^(1/n)$ converge e allo stesso limite (vale anche se il limite è $+-infty$). (Nota secondaria: Per alcuni autori questo non è un teorema di Cesaro ma un corollario).
Da questo teorema segue una tecnica di calcolo dei limiti:
se $a_{n+1}//a_n\toL$, allora $(a_n)^(1/n)\toL$ (pure questa vale anche per $L=+-infty$).
Per $a_n=n!$, $a_{n+1}//a_n=(n+1)!//n! =(n+1)\to+infty$, da cui $(a_n)^(1/n)\to+infty$ ovvero
$lim_{n\toinfty}root(n)(n!)=+infty$.
Una (per me) ottima dispensa sui teoremi di Cesaro si trova all'indirizzo
http://www2.ing.unipi.it/~d6081/DIDA/Cesaro.pdf
[edit] sostituita $l$ con $L$, si poteva confondere con $//$ linea di frazione.
Grazie mille, sia per aver suggerito un metodo alternativo, sia per aver confermato il risultato.
Scusate se rispolvero un topic vecchio, ma ho anch'io il problema di questo limite da risolvere. Con Stirling riesco, ma il mio libro dice di farlo solo "usando opportune maggiorazioni" (che poi ne basta una sola, credo, visto che deve risultare [tex]+\infty[/tex]). Ho provato con cose tipo [tex]n^n[/tex] e [tex]2^n[/tex], ma non arrivo a niente. Avreste un'idea?
E per dimostrare che $lim_(n->infty)(root(n)(n!))/n=1/e$ come si può fare?
Puoi usare il seguente risultato:
se \((a_n)_n\) è una successione a termini positivi, ed esiste \(\lim_n \frac{a_{n+1}}{a_n} = l\), allora esiste anche \(\lim_n \sqrt[n]{a_n}\) e vale anch'esso \(l\).
Prova con \(a_n = \frac{n!}{n^n}\).
se \((a_n)_n\) è una successione a termini positivi, ed esiste \(\lim_n \frac{a_{n+1}}{a_n} = l\), allora esiste anche \(\lim_n \sqrt[n]{a_n}\) e vale anch'esso \(l\).
Prova con \(a_n = \frac{n!}{n^n}\).
Io tempo fa, avevo provato a darne una dimostrazione senza ricorrere a particolari teoremi, avevo osservato semplicemente che $lim_(n->infty)root(n)((n!))/n=lim_(n->infty)root(n)((n!)/n^n)lim_(n->infty)root(n)((1-1/n)(1-2/n).....(1-(n-1)/n)$, inoltre avevo osservato che
$(1-1/n)=$ $((1-1/n)^(1/n))^n)$ $=((1-1/n)^n)^(1/n)$ e passando al limite si ha:
$lim_(n->infty)(1-1/n)=$ $lim_(n->infty)((1-1/n)^n)^(1/n)=$ $lim_(n->infty)root(n)(1/e)=1$
quindi avrò anche $lim_(n->infty)(1-2/n)=$ $lim_(n->infty)((1-2/n)^n)^(1/n)=$ $lim_(n->infty)root(n)(1/e^2)=1$
e cosi continuando , mi era venuto cosi in mente di calcolare il $lim_(n->infty)$ $root(n)$ $((1/e)^(1/n)(1/e^2)^(1/n)....(1/e^(n-1))^(1/n))$ ed usando la media aritmetica ottenevo $lim_(n->infty)$ $root(n)(1/e^(n^2))=1/e$, che è l'effettivo risultato del limite, è un caso o c'è una correlazione tra i due limiti?
$(1-1/n)=$ $((1-1/n)^(1/n))^n)$ $=((1-1/n)^n)^(1/n)$ e passando al limite si ha:
$lim_(n->infty)(1-1/n)=$ $lim_(n->infty)((1-1/n)^n)^(1/n)=$ $lim_(n->infty)root(n)(1/e)=1$
quindi avrò anche $lim_(n->infty)(1-2/n)=$ $lim_(n->infty)((1-2/n)^n)^(1/n)=$ $lim_(n->infty)root(n)(1/e^2)=1$
e cosi continuando , mi era venuto cosi in mente di calcolare il $lim_(n->infty)$ $root(n)$ $((1/e)^(1/n)(1/e^2)^(1/n)....(1/e^(n-1))^(1/n))$ ed usando la media aritmetica ottenevo $lim_(n->infty)$ $root(n)(1/e^(n^2))=1/e$, che è l'effettivo risultato del limite, è un caso o c'è una correlazione tra i due limiti?
Sulla relazione con la media aritmetica (e geometrica), leggi il mio post precedente in questo thread, potrebbe esserti utile.
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