Limite di integrale doppio $$\lim_{n\to\infty} (\frac{(2n+1)!}{(n!)^2})^2 \iint_{0}^{1}(xy(1-x)(1-y))^nf(x,y)dxdy $$
Buongiorno, sto cercando di risolvere questo problema.
Sia $$f: [0,1] \times [0,1] \rightarrow R $$ una funzione continua. Calcolare il seguente limite:
$$\lim_{n\to\infty} (\frac{(2n+1)!}{(n!)^2})^2 \iint_{0}^{1}(xy(1-x)(1-y))^nf(x,y)dxdy $$
Questo è quello che ho pensato:
f(x) è definita su $$ [0,1] \times [0,1]$$ quindi f è limitata $$m \le f(x,y) \le M$$ Dunque
$$ m\lim_{n\to\infty} (\frac{(2n+1)!}{(n!)^2})^2 \iint_{0}^{1}(xy(1-x)(1-y))^ndxdy \le \lim_{n\to\infty} (\frac{(2n+1)!}{(n!)^2})^2 \iint_{0}^{1}(xy(1-x)(1-y))^nf(x,y)dxdy \le M \lim_{n\to\infty} (\frac{(2n+1)!}{(n!)^2})^2 \iint_{0}^{1}(xy(1-x)(1-y))^ndxdy $$
$$\iint_{0}^{1}xy(1-x)(1-y))^ndxdy=I^2$$ con $$I=\int_{0}^{1}x^n(1-x)^ndx= \frac{\Gamma(n+1) \Gamma(n+1)}{\Gamma(2n+2)}= \frac{(n!)^2}{(2n+1)!}$$
Dunque
$$ m \le \lim_{n\to\infty} (\frac{(2n+1)!}{(n!)^2})^2 \iint_{0}^{1}(xy(1-x)(1-y))^nf(x,y)dxdy \le M $$
ma da questo punto non so come procedere.
Sia $$f: [0,1] \times [0,1] \rightarrow R $$ una funzione continua. Calcolare il seguente limite:
$$\lim_{n\to\infty} (\frac{(2n+1)!}{(n!)^2})^2 \iint_{0}^{1}(xy(1-x)(1-y))^nf(x,y)dxdy $$
Questo è quello che ho pensato:
f(x) è definita su $$ [0,1] \times [0,1]$$ quindi f è limitata $$m \le f(x,y) \le M$$ Dunque
$$ m\lim_{n\to\infty} (\frac{(2n+1)!}{(n!)^2})^2 \iint_{0}^{1}(xy(1-x)(1-y))^ndxdy \le \lim_{n\to\infty} (\frac{(2n+1)!}{(n!)^2})^2 \iint_{0}^{1}(xy(1-x)(1-y))^nf(x,y)dxdy \le M \lim_{n\to\infty} (\frac{(2n+1)!}{(n!)^2})^2 \iint_{0}^{1}(xy(1-x)(1-y))^ndxdy $$
$$\iint_{0}^{1}xy(1-x)(1-y))^ndxdy=I^2$$ con $$I=\int_{0}^{1}x^n(1-x)^ndx= \frac{\Gamma(n+1) \Gamma(n+1)}{\Gamma(2n+2)}= \frac{(n!)^2}{(2n+1)!}$$
Dunque
$$ m \le \lim_{n\to\infty} (\frac{(2n+1)!}{(n!)^2})^2 \iint_{0}^{1}(xy(1-x)(1-y))^nf(x,y)dxdy \le M $$
ma da questo punto non so come procedere.
Risposte
Ciao GinoFranco,
Si ha:
[tex]\lim_{n\to +\infty} \bigg(\frac{(2n+1)!}{(n!)^2} \bigg)^2 \iint_{0}^{1}(xy(1-x)(1-y))^n f(x,y) \text{d}x \text{d}y = f\bigg(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\bigg)[/tex]
Dai un'occhiata qui:
https://math.stackexchange.com/questions/4549597/find-lim-limits-n-to-infty-left-frac2n1n2-right2-int-01-int
Si ha:
[tex]\lim_{n\to +\infty} \bigg(\frac{(2n+1)!}{(n!)^2} \bigg)^2 \iint_{0}^{1}(xy(1-x)(1-y))^n f(x,y) \text{d}x \text{d}y = f\bigg(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\bigg)[/tex]
Dai un'occhiata qui:
https://math.stackexchange.com/questions/4549597/find-lim-limits-n-to-infty-left-frac2n1n2-right2-int-01-int
In effetti la soluzione si basa sul fatto che
$lim_{n -> infty} ((2n+1)!)/((n!)^2\ 2^n) = 1/2^n \prod_{i=1}^{n+1} (1+ n/i)= L$
Domanda: ci dev'essere un qualche teorema che giustifica questo fatto, ma non riesco a trovarlo.
Qualuno lo sa a che teorema ci si riferisce ?
$lim_{n -> infty} ((2n+1)!)/((n!)^2\ 2^n) = 1/2^n \prod_{i=1}^{n+1} (1+ n/i)= L$
Domanda: ci dev'essere un qualche teorema che giustifica questo fatto, ma non riesco a trovarlo.
Qualuno lo sa a che teorema ci si riferisce ?
Grazie Pilloeffe,
ho capito la soluzione. C'è solo una cosa di cui non sono ancora sicuro: non capisco dove nella dimostrazione, oltre all'intuizione iniziale si usi che $f(x,y)$ ha massimo in $$( \frac {1}{2}, \frac {1}{2})$$; ovvero mi sembra che ripetendo i calcoli (sempre che non li abbia sbagliati) ad esempio con $$g(x,y)=f(x,y)- f(\frac {1}{3}, \frac {1}{3})$$ la cosa funzioni lo stesso ottenendo però che il limite è uguale a $$f(\frac {1}{3}, \frac {1}{3})$$.
ho capito la soluzione. C'è solo una cosa di cui non sono ancora sicuro: non capisco dove nella dimostrazione, oltre all'intuizione iniziale si usi che $f(x,y)$ ha massimo in $$( \frac {1}{2}, \frac {1}{2})$$; ovvero mi sembra che ripetendo i calcoli (sempre che non li abbia sbagliati) ad esempio con $$g(x,y)=f(x,y)- f(\frac {1}{3}, \frac {1}{3})$$ la cosa funzioni lo stesso ottenendo però che il limite è uguale a $$f(\frac {1}{3}, \frac {1}{3})$$.
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